12同余初步初一自招教师

同余初步同余初步 1 / 4 第十二讲 同余初步 1.1. 除法概念：如果自然数a除以自然数m，商是q，余数为r，则aqmr，其中q与r都是整 数，而且0rm。 2.2. 同余概念：如果两个自然数a与b被自然数m除时，所得余数相同，即aqmr，bpmr， 那么就称a与b关于模m同余，用式子表示为：(mod)abm。读作：a与b关于模m同余，或 a同余于b模m。 3.3. 同余性质 性质1. (mod)abmm ab； 性质2. (mod)aam。 （反身性） 性质3. 若(mod)abm，那么(mod)bam。 （对称性） 性质4. 若(mod)abm，(mod)bcm，那么(mod)acm。 （传递性） 性质5. 若(mod)abm，(mod)cdm，那么(mod)acbdm。 （可加减性） 性质6. 若(mod)abm，(mod)cdm，那么(mod)acbdm。 （可乘性） 性质7. 若(mod)abm，那么(mod)anbnm。 （其中n为正整数） 性质8. 若(mod)abm，那么(mod) nn abm。 （其中n为自然数） 性质9. 若(mod)acbcm，,1c m ，那么(mod)abm。 同余初步同余初步 2 / 4 1 甲、乙两个自然数，它们的和被 3 除余 1，它们的差能被 3 整除，求甲数被 3 除的余数 解：甲、乙两数差被 3 整除 ，则甲、乙两数被 3 除余数相同 如果均为整除，则与和被 3 除余 1 矛盾； 如果均余 1，则和被 3 除余 2，不行； 如果均余 2，则和被 3 除余 1，符合要求所以，甲数被 3 除余 2 2 某个自然数被 247 除余 63，被 248 除余 63，求这个自然数被 26 除的余数 解：设所求自然数减去 63，差是A 则A能被 247 与 248 整除，24719 13，2482 124 所以A能被 13 与 2 整除 (13 2)1,， 所以A能被 26 整除 而后来的自然数是63A，63 26211，所以这个自然数被 26 除余 11 3 已知 22222222 1234599100101S-，则S被 103 除的余数是什么? 解：原式 2222222 1(32 )(54 )(101100 )- 1 2100 101 5151 103 50 1 所以 余数为 1 4 有一整数，除300 262 205,，得到相同的余数，问这个整数是几？ 解：设整数为d，商数分别为 1 k， 2 k， 3 k，相同余数为r 1 2 3 300 262 205 k dr k dr k dr ，- 1 2 382 19()kk d ，- 23 573 19()kk d 这样所求整数d是 38，57 公因数，但1d ，19d所以，这个整数是 19 5 有一个整数，用它去除 63、91、129，得到三个余数的和是 25，求这个整数 解：设 1 2 3 63 91 129 axr ayr azr ，则 123 (63)(91)(129)25rrraxayaz， 即 ()2582 3 43a xyz ，分析可知 43a 同余初步同余初步 3 / 4 6 有一列数 1， 3， 4， 7， 11， 18， （从第三个数开始， 每个数恰好是它前面相邻两个数之和） 问： 第 2012 个数被 6 除余几？ 解：写出每个数被 6 除的余数为1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,1,1,2,3,5,2， 发现，从第 25 个余数开始重复出现，即周期为 24 所以 201224 83 20，则余数为 1 7 将既能被 5 整除又能被 7 整除的自然数，自 105 起从小到大排成一行，共有 2012 个数这 2012 个数的和被 11 除余数是几？ 解：5 和 7 的最小公倍数从 105 起： 105140175 210 245 280 315 350 385 420 455 490, 这些数被 11 除的余数分别是：6,8,10,1,3,5,7,9,0,2,4,并以这 11 个数为周期出现， 而6 8 10 1 3 5 7902455 ，可以被 11 整除 2012 11 18210，6 8 10 1 3 5 790251 ， 51 1147，所以这 2012 个数的和被 11 除的余数是 7 8 今天是星期日，过 2012 3天是星期几？ 解：因为 3 3271(mod7) ，所以 20123 6702670 3(3 )3( 1)992(mod7) 因此，过 2012 3天是星期二 9 求乘积400 254 499除以19所得的余数 解：若先求乘积再求余数，计算量太大，利用同余的性质可以使“大数化小” ，减少计算量 因为4001(mod19)，2547(mod19)，4995(mod19)，则 400 254 4991 7 5(mod19) ，35 19116 所以乘积400 254 499除以19所得的余数是 16 10 将1,2,3,30从左往右依次排成一个 51 位数，这个数被 11 除的余数是多少？ 解：对 11 来说，奇数位上数字和与偶数位上数字和的差被 11 整除，它的余数与原数被 11 除的余数相 等所以，这个 51 位数： 奇数位上数字：13 5 7 9 01 2 38 9 0, , , , , , , , , , , 之和是 115； 偶数位上数字：2 4 6 810 1 10 23, , , , 之和是 53 115 5362-， 62 1157， 所以，余数是 7 同余初步同余初步 4 / 4 1 10987654321 10987654321除以 3 的余数是几？为什么？ 解：因为 12345 678910 11(mod3),21(mod3),30(mod3),41(mod3),52(mod3) 60(mod3),71(mod3),81(mod3),90(mod3),101(mod3) 12345678910 12345678910(1 1 0 1 20 1 1 0 1)(mod3) 故 12345678910 12345678910除