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文档简介

.,1,复变函数论多媒体教学课件,DepartmentofMathematics,第二节用留数计算定积分,.,2,留数定理的应用-积分的计算:,（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；（3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。,利用留数计算积分的特点：（1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；,.,3,思想方法:,封闭路线的积分.,两个重要工作:,1)积分区域的转化,2)被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,形如,.,4,z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.,包围在单位圆周内的诸孤立奇点.,注:,.,5,例1,解,故积分有意义.,.,6,.,7,因此,.,8,注:,此时,例2计算积分,解,则,.,9,.,10,由留数定理,例3计算,解,.,11,由留数定理,.,12,注:,例4计算积分,解,.,13,.,14,在许多实际问题中，往往要求计算反常积分的值，如,数学分析计算这些积分麻烦,无统一方法;用留数计算,较简捷.,.,15,1引理6.1,证明,因为,于是有,.,16,于是有,.,17,2定理6.7,.,18,证明,由条件(1),(2)及数学分析的结论,知,根据留数定理得:,.,19,或写成,因为,.,20,解,例5,.,21,.,22,解,例6,.,23,.,24,引理6.2,.,25,证明,于是就有,于是由Jordan不等式,.,26,将(6.13)化为,应用引理6.2,完全和证明定理6.7一样可得,.,27,2定理6.8,则有,注:将(6.14)分开实虚部,就可得到形如,的积分.,.,28,证明,根据留数定理得:,.,29,或写成,因为,.,30,例7计算积分,解,且在上半平面只有二级极点,.,31,.,32,四计算积分路径上有奇点的积分,引理6.3,证明,因为,于是有,.,33,于是有,.,34,例8计算积分,解,即,.,35,由引理6.2知,由引理6.3知,.,36,解,五杂例,例9,它是一个整函数,则,.,37,而,.,38,比较两端实部与虚部即得,弗莱聂尔(frensnel)积分,即,.,39,本节
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