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上海中学创新素养数学测试卷上海中学创新素养数学测试卷（2014） 1 / 4 x y 1 11 O 自招真卷 上海中学创新素养数学测试卷（2014） 一. 填空题（每题 8 分，共 80 分） 1. 已知 ac z cb y ba x ，则 zyx . 2. 已 知 二 次 函 数cbxaxy 2 的 图 像 如 图 所 示 ， 则 下 列6个 代 数 式 ： babacbacbaacab 22，中，其值为正的式子有 个. 3. 已知ABC的三边长分别为18128，DEF中有两边长分别为1812，则当第三条边长 时，ABC与DEF相似但不全等. 4. 将 22 328yxyx 写成两个整系数多项式的平方差，有 22 328yxyx . 上海中学创新素养数学测试卷上海中学创新素养数学测试卷（2014） 2 / 4 5. 已知正整数a是一个小于 6 10的完全平方数，且a是12的倍数，这样的a有 个. 6. 在坐标平面上， 把横、 纵坐标都为整数的点叫做整点. 对于任意的n个整点， 其中一定有两个整点， 它们的连线的中点仍为整点，那么n的最小值为 . 7. 如右图，从A到B（方向只能左右，或下上，或左下右上）有 种不同的路线？ A C B 8. 设x表示不超过x的最大整数，如36 . 3 ，22 . 1 . 则方程6 3 xx的解为 x . 二. 解答题（前两题每题15分，后三题每题16分，共78分，要求写出必要的解题步骤. ） 9. 是否存在两个既约分数 c d a b， ，（其中dcba，均为整数，且22 ca，） ，使它们的和与积 都为整数？证明你的结论. 上海中学创新素养数学测试卷上海中学创新素养数学测试卷（2014） 3 / 4 10. 设 100321 aaaa，都是正整数，且 12 aa ， 123 23aaa ， 9899100234 2323aaaaaa ， ，求证： 98 100 2 a. 11. 如图，在以C 为直角的ABCRt 中，43 ACBC点I是其内心. BCA、分别是 CBA、关于点I的对称点，求ABC和CBA所围成公共部分图形的面积. C A B I B A C 12. 如图，CBA、三地的位置呈三角形状，记，aBCbACcAB 在ABC所在平面 上有一点P，邮递员从P点出发，前往A地后立即返回，往返速度均为hvkm/；再前往B地后 立即返回，往返速度均为hvkm/2；最后以hvkm/2的速度到达C地. 请你设计点P的位置，使 得邮递员所花的总时间最短，说明理由. （其它因素忽略不计） A BC P 上海中学创新素养数学测试卷上海中学创新素养数学测试卷（2014） 4 / 4 13. 在直角坐标平面内，对于任意实数，yx由点)(yxA，可以“生成”点B) 2 ( 2222 22 yx xy yx yx ，生 成后的点B成为“黄金点”，生成前的点A成为“基点”. （1
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