高一上学期期末考数学试卷及答案(偏难)

高一上学期期末数学试卷总分：150分 答题时间：120分钟 日期：2016年1月6日姓名：_ 学号：_ 得分：_说明：本试卷适合高一学生使用，难度：偏难 一、选择题（共12小题；共60分）1. 设集合 A=xx2+2x30，集合 B=xx22ax10,a0若 AB 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是( )A. 0,34 B. 34,43 C. 34,+ D. 1,+ 2. 函数 y=lnx+1x23x+4 的定义域为( )A. 4,1 B. 4,1 C. 1,1 D. 1,1 3. 已知两个非零向量 a=m1,n1 和 b=m3,n3，且 a 、 b 的夹角是钝角或直角，则 m+n 的取值范围是( )A. 2,32 B. 2,6 C. 2,32 D. 2,6 4. 动点 Ax,y 在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周已知时间 t=0 时，点 A 的坐标是 12,32，则当 0t12 时，动点 A 的纵坐标 y 关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是( )A. 0,1 B. 1,7 C. 7,12 D. 0,1 和 7,12 5. 已知函数 fx=2sinx 在区间 3,4 上的最小值是 2，则 的取值范围为( )A. ,92 B. ,2 C. ,232,+ D. ,926,+ 6. 已知 A 为锐角，lg1+cosA=m，lg11cosA=n，则 lgsinA 的值为( )A. m+1n B. mn C. 12m+1n D. 12mn 7. 已知函数 fx=sin2x+，其中 为实数，若 fxf6 对 xR 恒成立，且 f2f，则 fx 的单调递增区间是( )A. k3,k+6kZ B. k,k+2kZ C. k+6,k+23kZ D. k2,kkZ 8. 如果函数 fx=12m2x2+n8x+1（m0，n0）在区间 12,2 上单调递减，那么 mn 的最大值为( )A. 16 B. 18 C. 25 D. 812 9. 已知 ABC 的内角 A,B,C 满足 sin2A+sinAB+C=sinCAB+12，面积 S 满足 1S2，记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A. bcb+c8 B. aba+b162 C. 6abc12 D. 12abc24 10. 如图，l1 、 l2 、 l3 是同一平面内的三条平行直线，l1 与 l2 间的距离是 1，l2 与 l3 间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1 、 l2 、 l3 上，则 ABC 的边长是 A. 23 B. 463 C. 3174 D. 2213 11. 已知函数 fx=Asinx+（A， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 x=23 时，函数 fx 取得最小值，则下列结论正确的是( )A. f2f2f0 B. f0f2f2 C. f2f0f2 D. f2f0f2 12. 在 ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 中点P 为 EF 上任一点，实数 x,y 满足 PA+xPB+yPC=0设 ABC,PBC,PCA,PAB 的面积分别为 S，S1，S2，S3，记 S1S=1，S2S=2，S3S=3，则当 23 取最大值时，2x+y 的值为( )A. 1 B. 1 C. 32 D. 32 二、填空题（共4小题；共16分）13. 在锐角三角形 ABC 中，tanA=12，D 为边 BC 上的点，ABD 与 ACD 的面积分别为 2 和 4过 D 作 DEAB 于 E，DFAC 于 F，则 DEDF= 14. 数列 an 中， a1=2,an=11an1n=2,3,4, ，则 a4= ；若 an 有一个形如 an=Asin23n+B 的通项公式，其中 A,B, 均为实数，且 2 ，则此通项公式为 an= (要求写出 A,B, 的数值) 15. 已知 f=sin2+sin2+sin2+，其中 ， 为参数，且 00,00,0 的周期为 ，图象的一个对称中心为 4,0，将函数 fx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 2 个单位长度后得到函数 gx 的图象(1) 求函数 fx 与 gx 的解析式；(2) 是否存在 x06,4，使得 fx0，gx0，fx0gx0 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 x0 的个数，若不存在，说明理由；(3) 求实数 a 与正整数 n，使得 Fx=fx+agx 在 0,n 内恰有 2013 个零点答案第一部分1. B2. C3. D4. D5. C6. D7. C8. B9. A10. D11. A12. D第二部分13. 1615 14. 2 ； 3sin23n3+12 15. =3,=23 16. 13或35 第三部分17. (1) A=1,3，B=xx1x+1a=0， 因为 AB=A， 所以 BA， 因为 a1=3 或 a1=1 所以 a=4 或 a=2 因为 AC=C， 所以 CA若 C=，则 =m240， 所以 2m2若 1C，则 12m+1=0， 所以 m=2，此时 C=1，AC=C若 3C，则 93m+1=0， 所以 m=103，此时 C=3,13A， 所以 m103综上所述，a=2 或 a=4，2m218. (1) 当 =4 时，b=22,22，ab=322， m=a+tb2=5+t2+2tab=t2+32t+5=t+3222+12， 当 t=322 时，m 取得最小值18. (2) 假设存在满足条件的实数 t由条件得cos4=aba+tbaba+tb, ab， ab=ab2=6，a+tb=a+tb2=5+t2，aba+tb=5t， 5t65+t2=22， t2+5t5=0，且 t5，得 t=5352， 存在 t=5352 满足条件19. (1) 由题可得，m+n=cos+2sin,sin+cos,所以m+n=cossin+22+cos+sin2=4+22cossin=21+cos+4.由 m+n=825，解得cos+4=725,由二倍角公式，得2cos22+81=725,解得cos22+8=1625.由 ,2，得582+898,则cos2+80,因此，cos2+8=45.20. (1) fsinx=sin2xasinx+b=sinxsinxa+b，2x2 fsinx=2sinxacosx，2x2因为 2x0，22sinx2（i）a2，bR 时，函数 fsinx 单调递增，无极值（ii）a2，bR 时，函数 fsinx 单调递减，无极值（iii）对于 2a2，在 2,2 内存在唯一的 x0，使得 2sinx0=a 2xx0 时，函数 fsinx 单调递减；x0x2 时，函数 fsinx 单调递增因此 2a2，bR 时，函数 fsinx 在 x0 处有极小值 fsinx0=fa2=ba2420. (2) 2x2 时，fsinxf0sinx=a0asinx+bb0aa0+bb0，当 a0abb00 时，取 x=2 等号成立，当 a0abb00 时，取 x=2，等号成立由此可知，fsinxf0sinx 在 2,2 上的最大值为 D=aa0+bb020. (3) D1 即为 a+b1，此时 0a21，1b1，从而 z=ba241取 a=0，b=1，则 a+b1，并且 z=ba24=1因此可知，z=ba24 满足条件 D1 时的最大值为 121. (1) 由题设图象知，周期T=21112512=,所以=2T=2.因为点 512,0 在函数图象上，所以Asin2512+=0,即sin56+=0,又因为 02，所以5656+0，得=2T=2=2.又曲线 y=fx 的一个对称中心为 4,0，0,，故f4=sin24+=0,解得 =2，所以fx=cos2x.将函数 fx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）后可得 y=cosx 的图象，再将 y=cosx 的图象向右平移 2 个单位长度后得到函数 gx=cosx2 的图象，所以gx=sinx.22. (2) 当 x6,4 时，12sinx22,0cos2xcos2xsinxcos2x.问题转化为方程 2cos2x=sinx+sinxcos2x 在 6,4 内是否有解设Gx=sinx+sinxcos2x2cos2x,x6,4,则Gx=cosx+cosxcos2x+2sin2x2sinx.因为 x6,4，所以Gx0, Gx 在 6,4 内单调递增又G6=140,且函数 Gx 的图象连续不断，故可知函数 Gx 在 6,4 内存在唯一零点 x0，即存在唯一的 x06,4 满足题意22. (3) 方法一：依题意，Fx=asinx+cos2x，令Fx=asinx+cos2x=0.当 sinx=0，即 x=kkZ 时，cos2x=1，从而 x=kkZ 不是方程 Fx=0 的解，所以方程 Fx=0 等价于关于 x 的方程a=cos2xsinx,xkkZ.现研究 x0,2 时方程 a=cos2xsinx 的解的情况令hx=cos2xsinx,x0,2,则问题转化为研究直线 y=a 与曲线 y=hx,x0,2 的交点情况hx=cosx2sin2x+1sin2x,令 hx=0，得x=2或x=32.当 x 变化时，hx,hx 的变化情况如下表：x0,222,323232,2hx+00+hx11当 x0 且 x 趋近于 0 时，hx 趋向于 ；当 x 且 x 趋近于 时，hx 趋向于 +；当 x1 时，直线 y=a 与曲线 y=hx 在 0, 内无交点，在 ,2 内有 2 个交点；当 a1 时，直线 y=a 与曲线 y=hx 在 0, 内有两个交点，在 ,2 内无交点；当 1a0,p1=a1,p1=a1.当 a1 时，函数 pt 有一个零点 t11,0（另一个零点 t21，舍去）， Fx 在 0,2 上有两个零点 x1,x2，且 x1,x2,2；当 a1 时，函数 pt 有一个零点 t10,1（另一个零点 t21，舍去）， Fx 在 0,2 上有两个零点 x1,x2，且 x1,x20,；当 1a1 时，函数 pt 有一个零点 t11,0，另一个零点 t20,1，Fx 在 0, 和 ,2 分别有两个零点由正弦函数的周期性，可知当 a1 时，函数 Fx 在 0,n 内总有偶数个零点，从而不存在正整数 n