第十六章--二次根式知识点归纳及应用

第十六章 二次根式出处 何海平名师工作室 QQ：（欢迎加入交流）一、知识梳理1二次根式：式子叫做二次根式。2最简二次根式若二次根式满足：被开方数不含分母；分母不含根号；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。3. 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果分母含根号，利用分母有理化进行化简。（3）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。5. 二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）6. 函数中自变量的取值范围要使式子有意义，必须保证：（1）分母0；（2）二次根式根号下被开方数07.【公式】：（1）ab=ab； ab=ab （2）ab=ab；ab=ab（3）a2=a （）a=a=a (a0) a (a0)被开方数是乘除关系根号可以拆开，被开方数是加减关系根号不可以拆开。比如： 分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分数。比如：4132（）； 1332（）1.填空（1）8=_； （2）18=_；（3）32=_；（4）50=_；（5）12=_；（6）27=_；（7）48=_；（8）75=_；（9）20=_；（10）45=_；（11）80=_；（12）125=_；2.填空；（1）4x=_；（2）9x=_；（3）16x=_；3.填空；（1）2x=_；（2）3x=_；（3）4x2=_；（4）8x2=_；（5）2x=_；（6）3x3=_；（7）4x3=_；（8）8x3=_；4.填空（1）12=_；（2）13=_；（3）18=_；（4）19=_；（5）23=_；（6）25=_；（7）35=_5.填空（1）1x=_；（2）12x=_；（3）1x=_；（4）12x=_；（5）1x=_；（6）12x=_6、计算:(1) 16x+9x (2) 80-45(3) 52+8-718 (4) 80+8-45-718(5) 32-12-218+27 (6) 28+1218-1432(7) 12-13-127 (8) 340-25-2110(9) 212-4127+348 (10) 24-12+223-18-67计算：（1）8+36 （2）58+3323（3）42-3622 （4） 23(42-36512-8)（5）72+2626-72（6）7-73（7）已知x=3+2，y=3-2，求x2-y2的值二、 函数中自变量的取值范围要使式子有意义，必须保证：（1）分母0；（分母为零没有意义）（2）二次根式根号下被开方数0（负数没有平方根）例1 求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x2 （2）y= （3）y= - （4）y =（5）y= （6）y=1x-2（7）y = （8）y=+解：（1）x取任意实数 【题目中没有分母也没有根号 x取任意实数】 （2）x2 【由分母x-20得x2】 （3）x2并且x3 【由分母x-20分母x+30 解之得x2x-3 即x2并且x3】 （4）x2 【由被开方数x-20得x2】 （5）x2 【由被开方数x-20分母x-20 解之得x2x2 x2】 （6）x0并且x4 【由被开方数x0分母x-20 解之得x0x4 x0并且x4】（7）x5并且x2 【由被开方数x+50分母x-20 解之得x-5x2 x5并且x2】 （8）x=2 【由被开方数x-20被开方数2-x0 解之得x2x2 x=2】二、函数中自变量的取值范围1.求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x+3（2）y= （3）y= （4）y=（5）y= （6）y=1x-3（7）y= （8）y=+ 11. (武汉)式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）Ax 1 B x1 C x1 Dx 111.（鞍山）要使式子有意义，则x的取值范围是（）Ax0Bx2Cx2 Dx211.（江苏盐城）若二次根式有意义，则x的取值范围是 .11.（湖北随州）函数中，自变量x的取值范围是_。2.（呼和浩特）函数中自变量x的取值范围是_21.#（湖南衡阳）函数y= 中自变量x 的取值范围是（）Ax2 Bx2 Cx2 Dx221.#（娄底）式子 有意义的x的取值范围是（）Ax 且x 1 Bx 1 Cx Dx 且x 13.（湖南湘潭）下列函数中，自变量的取值范围是的是 （ ）A B. C. D. 三、二次根式的非负性公式：a=a=a (a0) a (a0)比如： 4=4=4； （-4）=-4=-4（-3）=-3=-3；（3-）=3-=-3（）若（-）=-则的取值范围是；若（-）=-则的取值范围是8答案一、基础1.填空（1）8=24=24=22=22（2）18=29=29=23=32（3）32=216=216=24=42（4）50=225=225=25=52（5）12=34=34=32=23（6）27=39=39=33=33（7）48=316=316=34=43（8）75=325=325=35=53（9）20=54=54=52=25（10）45=59=59=53=35（11）80=516=516=54=45（12）125=525=525=55=552.填空（1）4x=4x=2x（2）9x=9x=3x（3）16x=16x=4x3.填空（1）2x=2x=2x（2）3x=3x=3x（3）4x2=4x2=2x（4）8x2=8x2=22x（5）2x=2xx=2xx=x2x（6）3x3=3xx2=3xx=x3x（7）4x3=4x2x=2xx（8）8x3=4x22x=2x2x4.填空（1）12=12=1222=22（2）13=13=1333=33（3）18=18=122=12222=222=24（4）19=19=13（5）23=23=2333=63（6）25=25=2555=105（7）35=35=3555=1555.填空（1）1x=1x=1xxx=xx（2）12x=12x=12x2x2x=2x2x（3）1x=1x=1x（4）12x=12x=12x=1 22x2=22x（5）1x=1x=1xx=1xx=1xxxx=xx（6）12x=12x=12xx=12xx=12x2xx2x=2x2xx=2x2x6、计算:(1) 16x+9x=4x+3x=7x(2) 80-45=45-35=5(3) 52+8-718=52+22-212=(5+2-21)2=-142(4) 80+8-45-718=45+22-35-212=5-192(5) 32-12-218+27=42-23-232+33=42-23-62-63=-22-83(6) 28+1218-1432=42+322-2=(4+32-1)2=922(7) 12-13-127=23-133-193=23-133+193=2-13+193=1693(8) 340-25-2110=610-1510-1510=6-15-1510=28510(9) 212-4127+348=43-493+123=(4-49+12)3=14093(10) 24-12+223-18-6=26-122+236-142-6=2+23-16-12-142=536-3427.计算 （4） 23(42-36512-8)=2342-233623512-238=2432-233625312-23 8 =86-633210334-23 24=86-6321032-23 22 =86-18260-46 =46-18260 二、（7）已知x=3+2，y=3-2，求x2-y2的值解法一：x2-y2=3+22-3-22=3+23+2-3-23-2 = 33+32+23+22-33-32-23+22 =3+23+23+4-3-23-23+4 = 3+23+23+4-3+23+23-4= 83解法二：【利用公式】x2-y2= （x+y）（ x-y）x2-y2= （x+y）（ x-y）=(3+2)+ (3-2) (3+2)- (3-2)=(3+2+ 3-2) (3+2- 3+2)=234=83一、 函数中自变量的取值范围解：（1）x取任意实数 【题目中没有分母也没有根号 x取任意实数】 （2）x-3 【由分母x+30得x-3】 （3）x2并且x3 【由分母x-20分母x+30 解之得x2x-3 即x2并且x3】 （4）x-3 【由被开方数x+30得x-3】 （5）x-3 【由被开方数x+30分母x+30 解之得x-3x-3 x-3】 （6）x0并且x9 【由被开方数x0分母x-30 解之得x0x9 x0并且x9】（7）x3并且x2 【由被开方数x+30分母x-20 解之得x-3x2 x3并且x2】 （8）x=3 【由被开方数x-30被开方数3-x0 解之得x3x3 x=3】 1.（1）x取任意实数 （2）x3 由分母x+30得x3 （3）x1并且x2 （4）x3 由被开方数x+30得3 （5）x3 由被开方数x+30得3，但分母0得x3 x3 （6）x2并且x1 由被开方数x+20得x2，但分母x-10得x1 x2并且x1 （7）x=3 由被开方数x-30得x3，并且被开方数3-x0得x3，x=311. B【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即：x-10，解得：.x111. D【解析】二次根式有意义的条件是被开方数必须为非负数，即2x0，解之得x211.【解析】二次根式有意义的条件是被开方数必须为非负数