MATLAB符号运算功能ppt课件

.,第四次课,第三章符号运算功能,.,上次课内容回顾:,矩阵及其运算主要介绍了特殊矩阵的生成如空阵、全零阵、全1阵等的生成,矩阵的一些特殊操作如变维、变向、抽取、扩展.数组及其运算主要介绍了基本数组运算数、组函数运算和数组逻辑运算.多项式运算主要介绍了多项式的表示方法、多项式运算.,.,3.1符号表达式的生成,目录,3.2符号和数值之间的转换,3.3符号函数的运算,3.5符号矩阵的运算,3.4符号矩阵的创立,3.6符号微积分,3.7符号代数、微分方程求解,3.8符号函数的二维图,.,概述,MATLAB自产生之日起就在数值计算功能上独占鳌头，广受各专业人员的欢迎。但是在数学、物理、力学等各种科研、工程应用中还经常遇到符号运算的问题，因此一部分MATLAB用户不得不掌握另一种符号计算语言，如Maple、Mathematic、MathCAD等等，这就带来了一些不便。为了解决这个问题，Mathworks公司于1993年从加拿大滑铁卢大学购入了Maple的使用权，并在此基础上，利用Maple的函数库，开发了MATLAB语言的又一重要工具箱符号计算工具箱（SymbolicToolbox)。从此MATLAB便集数值计算、符号计算和图形处理三大基本功能于一体，成为数学计算各语言中功能最强、操作最简单和最受用户喜爱的语言。,.,3.1符号表达式的生成,符号运算的特点：在符号运算过程中，变量都是以字符形式保存和运算，即使是数字也被当做字符来处理。符号表达式的形式：符号函数不包括等号符号方程必须带等号创建方法:符号函数和符号方程创建方法相同，最简单的方法和MATLAB中字符串变量的生成方法相同。创建符号函数f=log(x)f=log(x),.,创建符号方程equation=a*x2+b*x+c=0equation=a*x2+b*x+c=0创建符号微分方程diffeq=Dy-y=xdiffeq=Dy-y=x注意：1）由这种方法创建的符号表达式对空格是很敏感的。因此，不要在字符间乱加空格符，否则在其它地方调用此表达式的时候会出错。2）由于符号表达式在MATLAB中被看成是1*1阶的符号矩阵，因此，它也可用sym和syms命令来创建。如：f=sym(sin(x)f=sin(x)f=sym(sin(x)2=0)f=sin(x)2=0,.,symsxt;f=sin(x)+cos(t)f=sin(x)+cos(t)此方法不能用来创建符号方程,symsx;f=sin(x)+cos(x)f=sin(x)+cos(x),.,3.2符号和数值之间的转换,目的：有时符号运算的目的是得到精确的数值解，这样就需要对得到的解析解进行数值转换。在MATLAB中转换主要由两个函数digits和vpa完成。而这两个函数在实际中经常同变量替换函数subs配合使用，其调用格式为：digits(D)函数设置有效数字个数为D的近似解精度；R=vpa(S)符号表达式S在digits函数设置下的精确的数值解；vpa(S,D)符号表达式S在digits(D)精度下的数值解；例题：求方程3x2-ex=0的精确解和各种精度的近似解。s=solve(3*x2-exp(x)=0),s=-2*lambertw(-1/6*3(1/2)-2*lambertw(-1,-1/6*3(1/2)-2*lambertw(1/6*3(1/2),.,vpa(s)ans=.910007572488709060657338295759443.7330790286328142006199540298434-.45896226753694851459857243243408vpa(s,6)ans=.9100083.73308-.458962,例题：设函数为f(x)=x-cos(x)，求此函数在x=点的值。x=sym(x),f=x-cos(x),f1=subs(f,pi,x)f1=pi+1,.,numeric(f1)ans=4.1416double(f1)ans=4.1416,digits(25);vpa(f1),ans=4.141592653589793238462643,.,3.3符号函数的运算,一、复合函数运算若函数z=z(y)的自变量y又是x的函数y=y(x)，则求z对x的函数的过程称为复合函数运算。在MATLAB中，此过程可由功能函数compose来实现。调用格式：compose(f,g)返回当f=f(x)和g=g(y)时的复合函数f(g(y),这里x为findsym定义的f的符号变量，y为findsym定义的g的符号变量.compose(f,g,z)返回的复合函数以z为自变量。compose(f,g,x,z)返回复合函数f(g(z),且使得x为f的独立变量，即如果f=cos(x/t),则compose(f,g,x,z)返回cos(g(z)/t),而compose(f,g,t,z)返回cos(x/g(z)。,.,compose(f,g,x,y,z)返回的复合函数f(g(z),并使得x为f的独立变量，y为g的独立变量。,复合函数运算示例：symsxyztu;f=1/(1+x2);g=sin(y);h=xt;p=exp(-y/u);compose(f,g);,ans=1/(1+sin(y)2),compose(f,g,t);,ans=1/(1+sin(t)2),compose(h,g,x,z);,.,compose(h,g,t,z);ans=xsin(z)compose(h,p,x,y,z);ans=exp(-z/u)tcompose(h,p,t,u,z);ans=xexp(-y/z),ans=sin(z)t,.,3.4符号矩阵的创立,在MATLAB中创建符号矩阵的方法和创建数值矩阵的形式很相似，只不过要用到符号定义函数sym。一、使用sym函数直接创建符号矩阵矩阵元素是任何不带等号的符号表达式，各符号表达式的长度可以不同如：a=sym(1/s+x,sin(x)cos(x)2/(b+x);9,exp(x2+y2),log(tanh(y),a=1/s+x,sin(x),cos(x)2/(b+x)9,exp(x2+y2),log(tanh(y),.,二、用创建子阵的方法创建符号矩阵ms=1/s,sin(x);1,exp(x)ms=1/s,sin(x)1,exp(x)注意：要保证同一列的各元素字符串具有相同的长度，为此在较短字符串的前后可用空格符补充。b=a;exp(-i),3,x3+y9,b=1/s+x,sin(x),cos(x)2/(b+x)9,exp(x2+y2),log(tanh(y)exp(-i),3,x3+y9,三、将数值矩阵转化为符号矩阵在MATLAB中，数值矩阵不能直接参与符号运算，必须先转化为符号矩阵。,.,如：a=2/3,sqrt(2),0.222;1.4,1/0.23,log(3)b=sym(a)四、符号矩阵的索引和修改用矩阵的坐标括号表达式实现。如：对上例中的矩阵b的索引和修改。b(2,3)%矩阵的索引b(2,3)=log(3)%矩阵的修改,b=2/3,sqrt(2),111/5007/5,100/23,4947709893870346*2(-52),b=2/3,sqrt(2),111/5007/5,100/23,log(3),.,3.5符号矩阵的运算,一、基本运算1.符号矩阵的四则运算矩阵的加（+）、减（-）法例如：a=sym(1/x,1/(x+1);1/(x+2),1/(x+3);b=sym(x,1;x+2,0);b+a矩阵的乘（*）、除（/、）法如：ab,ans=1/x+x,1/(x+1)+11/(x+2)+x+2,1/(x+3),.,矩阵的转置（）如：a,ans=-6*x-2*x3-7*x2,3/2*x2+x+1/2*x36+2*x3+10*x2+14*x,-1/2*x3-2*x2-3/2*x,simple(ans),ans=-x*(x+2)*(2*x+3),1/2*x*(x+2)*(x+1)2*(x+3)*(x+1)2,-1/2*x*(x+3)*(x+1),ans=1/conj(x),1/(2+conj(x)1/(1+conj(x),1/(3+conj(x),.,2.符号矩阵的行列式运算如：det(a)ans=2/x/(x+3)/(x+1)/(x+2)3.符号矩阵的逆如：inv(b)4.符号矩阵的秩如;rank(a)ans=25.符号矩阵的幂运算如：a2,ans=0,1/(x+2)1,-x/(x+2),ans=1/x2+1/(x+1)/(x+2),1/x/(x+1)+1/(x+1)/(x+3)1/(x+2)/x+1/(x+3)/(x+2),1/(x+1)/(x+2)+1/(x+3)2,.,6.符号矩阵的指数运算符号矩阵的“数组指数”运算由函数exp实现,如：exp(b)；符号矩阵的“矩阵指数”运算由函数expm实现;如：expm(b),exp(b)ans=exp(x),exp(1)exp(x+2),1,expm(b)a=01;32symstexpm(a*t),ans=1/4*exp(3*t)+3/4*exp(-t),-1/4*exp(-t)+1/4*exp(3*t)-3/4*exp(-t)+3/4*exp(3*t),3/4*exp(3*t)+1/4*exp(-t),.,二、矩阵分解1.符号矩阵的特征值分解函数eig如：x,y=eig(b);x=simple(x),x=1,1-1/2*x+1/2*(x2+8+4*x)(1/2),-1/2*x-1/2*(x2+8+4*x)(1/2),y=1/2*x+1/2*(x2+8+4*x)(1/2),00,1/2*x-1/2*(x2+8+4*x)(1/2),2.符号矩阵的约当标准形函数jordan如：a=sym(112;013;002)x,y=jordan(a),.,3.符号矩阵的三角抽取函数diagtriltriu如：z=sym(x*yxasin(y);talog(y)b;yexp(t)x),x=5,-5,-53,0,-51,0,0,y=2,0,00,1,10,0,1,z=x*y,xa,sin(y)ta,log(y),by,exp(t),x,triu(z);diag(z);tril(z),ans=x*y,xa,sin(y)0,log(y),b0,0,x,ans=x*ylog(y)x,ans=x*y,0,0ta,log(y),0y,exp(t),x,.,四、符号矩阵的简化1.因式分解函数factor调用格式：factor(S)输入变量为一符号矩阵，此函数将分解矩阵的各个元素；S包含的所有元素为整数，则计算最佳因式分解式。如:符号表达式的分解symsxfactor(x9-1)分解大整数(factor(sym(N)factor(sym(12345678901234567890),ans=(x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1),ans=(2)*(3)2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541),.,2.符号矩阵的展开函数expand调用格式：expand(s)对符号矩阵的各元素的符号表达式进行展开，也常用于三角函数、指数函数和对数函数的展开中。,如：symsxyexpand(x+1)3)多项式展开expand(sin(x+y)三角函数展开,ans=x3+3*x2+3*x+1,ans=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y),3.同类式合并函数collect调用格式：collect(S,v)将符号矩阵S中的各元素的v的同幂项系数合并；collect(S)对由findsym函数返回的默认变量进行同类项合并。,.,如：symsxycollect(x2*y+y*x-x2-2*x)ans=(y-1)*x2+(y-2)*xcollect(x2*y+y*x-x2-2*x,y)ans=(x2+x)*y-x2-2*x4.符号简化函数simple和simplifysimple用于寻找符号矩阵或符号表达式的最简型。调用格式：simple(S)对表达式S尝试多种不同的算法简化，以显示S的长度最短的简化形式，若S为一矩阵，则结果是全矩阵的最短形，而非每个元素的最短形。,simplify符号简化函数调用格式：simplify(S)简化符号矩阵的每一个元素。,.,如：symsxcalphabetasimplify(sin(x)2+cos(x)2)ans=1simplify(exp(c*log(sqrt(alpha+beta)ans=(alpha+beta)(1/2*c)5.分式通分numden求解符号表达式的分子和分母。调用格式：N,D=numden(A)把A的各元素转换为分子和分母都是整系数的最佳多项式型。如：n,d=numden(x/y+y/x),n=x2+y2,d=x*y,.,3.6符号微积分,一、符号极限极限的求解可由limit函数来实现，调用格式：limit(F,x,a)计算符号表达式F在xa条件下的极限值；limit(F,a)计算符号表达式中由findsym(F)返回的独立变量趋向于a的极限值；limit(F)计算a=0时的极限；limit(F,x,a,right)或limit(F,x,a,left)rigft,left用来指定取极限的方向。如：symsxath;limit(sin(x)/x)ans=1limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)ans=exp(6*t)limit(1/x,x,0,right)ans=inf,.,二、符号积分1.符号积分函数int，调用格式：int(S)计算符号表达式S对由findsym返回的符号自变量的不定积分，S为符号矩阵或符号数量，若S为常数，则积分针对(S,v)计算符号表达式S对符号自变量v的不定积分，v是一数量符号量。int(S,a,b)计算符号表达式S对默认符号变量从a到b的定积分，a和b为双精度或符号数量。int(S,v,a,b)计算符号表达式对变量v从a到b的定积分。如：symsxx1alphaut;A=cos(x*t),sin(x*t);-sin(x*t),cos(x*t),A=cos(x*t),sin(x*t)-sin(x*t),cos(x*t),.,int(A,t),ans=1/x*sin(x*t),-cos(x*t)/xcos(x*t)/x,1/x*sin(x*t),int(x1*log(1+x1),0,1)ans=1/4,.,三、符号微分和差分微分和差分函数diff调用格式：diff(S)对由findsym返回的自变量，求符号表达式S的微分。diff(S,v)或diff(S,sym(v)对自变量v，求表达式S的微分diff(S,n)对于正整数n，对表达式S微分n次。如：x=sym(x);t=sym(t);diff(sin(x2)ans=2*cos(x2)*xdiff(t6,6)ans=720,.,3.7符号代数、微分方程求解,一、线性方程组的符号解法线性方程的符号求解函数linsolvesolve此方法可得到方程组的精确解，所得的解析解可由函数vpa转换在浮点近似数值。例：试对数值方程组用符号求解函数来求解。a=sym(10,1,0;-1,10,2;0,2,10)b=(9;7;6)linsolve(a,b)vpa(ans,5),ans=473/47591/95376/475,ans=.99579.95789.79158,.,二、非线性方程的符号解法非线性方程的符号求解由函数fsolve实现，调用格式为：X=fsolve(fun,x0)fun为所要求解的函数名，通常以M文件的形式给出，返回函数值F=fun(x)，x0为求解方程的初始值。,例：用fsolve函数求解下面非线性方程。,解：首先编制函数文件fc.m如下fc.mfunctiony=fc(x)y(1)=x(1)-0.7*sin(x(1)-0.2*cos(x(2)y(2)=x(2)-0.7*cos(x(1)+0.2*sin(x(2)y=y(1)y(2);,.,在MATLAB命令窗口输入：x0=0.5,0.5fsolve(fc,x0),ans=0.52650.5079,三、常微分方程的符号解常微分方程的符号解由函数dsolve来计算，主要调用格式为：dsolve(equ1,equ2,),以代表微分方程及初始条件的符号方程为输入参数，多个方程或初始条件可在一个输入变量内联立输入，且以逗号分隔。默认的独立变量为t，也可把t变为其它的符号变量。字符D代表对独立变量的微分，通常指d/dt。紧跟D的数字代表高阶微分如D2为d2/dt2。紧跟此操作符的任何符号都可作被微变量，如D3y代表对y(t)的3阶微分。,.,例:dsolve(Dx=-a*x)ans=C1*exp(-a*t)S=dsolve(Du=v,Dv=w,Dw=-u,u(0)=0,v(0)=0,w(0)=1)S=u:1x1symv:1x1symw:1x1symS.uans=1/3*3(1/2)*exp(1/2*t)*sin(1/2*t*3(1/2)-1/3*exp(1/2*t)*cos(1/2*t*3(1/2)+1/3*exp(-t)注意：用户定义的符号变量不能再包括字符D，初始条件以方程形式给出