MATLAB在复变函数中的应用PPT课件

.,1,MATLAB,在复变函数中的应用任宏伟，何雯，屠佳丽，胡柯庭，王丹丹，张燕,.,2,主要内容1复数和复矩阵的生成2复数的运算1.复数实部和虚部、共轭复数、复数的模和辐角2.复数的乘除法、复数的平方根、复数的幂运算3.复数的指数和对数运算、复数的三角运算、复数方程求根3复变函数的极限、导数与积分4复变函数的Taylor展开5Laplace变换及其逆变换、Fourier变换及其逆变换6留数7复变函数的图像,.,3,1复数的和复矩阵的生成,复变函数和实变函数有很深的联系，很多复变函数的定理和运算规则都是对实变函数理论的推广，明白了这一点对于学习复变函数有很大的帮助。但是复变函数又有它自身的特点，某些运算规则来源于对实变函数运算规则的推广，但又有明显不同于实变函数的特征。本章讲述的是Maltab在复变函数中的应用。正是因为复变函数和实变函数有如此深的联系，所以大多数处理复变函数的Matlab命令和处理实变函数的命令是同一个命令。,1.1复数的生成,复数可以由z=a+b*i语句生成,也可以简写为z=a+bi;另一种生成复数的语句是z=r*exp(i*theta)，也可以简写为z=r*exp(thetai)，其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。,.,4,1.2创建复矩阵,创建复矩阵有两种方法：(1)同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵例如：A=3+5*i，-2+3i，9*exp（i*6）,23*exp(33i)(2)可将实矩阵和虚矩阵分开创建，再写成和的形式例如：re=rand(3,2);im=rand(3,2);com=re+i*im结果为：com=0.9501+0.4565i0.4860+0.4447i0.2311+0.0185i0.8913+0.6154i0.6068+0.8214i0.7621+0.7919i,.,5,2复数的运算,2.1复数实部和虚部、共轭复数、复数的模和辐角1.复数实部和虚部real(X)返回复数X的实部imag(X)返回复数X的虚部2.共轭复数conj(X)返回复数X的共轭复数3.复数的模和辐角abs(X)返回复数X的模angle(X)返回复数X的辐角例1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模和辐角,.,6,%complex01.ma=1/(3+2i),1/i-3i/(1-i),(3+4i)(2-5i)/2i,i9-4*i21+iR=real(a)M=imag(a)Con=conj(a)Abs=abs(a)Ang=angle(a)%计算结果a=0.2308-0.1538i1.5000-2.5000i-3.5000-13.0000i0-2.0000iR=0.23081.5000-3.50000M=-0.1538-2.5000-13.0000-2.0000con=0.2308+0.1538i1.5000+2.5000i-3.5000+13.0000i0+2.0000iabs=0.27742.915513.46292.0000ang=-0.5880-1.0304-1.8338-1.5708,.,7,2.2复数的乘除法、复数的平方根、复数的幂运算1.复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。2.复数的平方根sqrt(X)返回复数X的平方根值3.复数的幂运算：Xn,2.3复数的指数和对数运算、复数方程求根、复数的三角运算1.复数的指数和对数运算exp(X)返回复数X的以e为底的指数值log(X)返回复数X的以e为底的对数值2.复数的方程求根复数方程求根或是方程的复数根求解也由函数solve实现。例2求方程x3+8=0的所有根。roots=solve(x3+8=0)roots=-21-i*3(1/2)1+i*3(1/2),.,8,3.复数的三角运算复数的三角函数运算参见下面的复数三角函数表,.,9,3复变函数的极限、导数和积分,3.1复变函数的极限求复变函数的极限仍然使用命令limit(),只是复变函数的极限存在条件比实变函数更加苛刻。复变函数极限存在要求复变函数的实部和虚部同时存在极限。命令格式如下：limit(F,x,a)例3z为复数，有复变函数f(z)=z/(1+z),求极限：,%complex02.mclearsymszf=z/(1+z);limit(f,z,1+5*i),.,10,3.2复变函数的导数,计算复变函数导数的命令仍然是diff(),具体格式为：diff(function,varriable,b),例4求ln(1+sinz)在z=i/2处的导数，,在z=3+i/2处的导数。,%complex03.mclearsymszf1=log(1+sin(z);f2=sqrt(z-1)*(z-2);df1=diff(f1,z)df2=diff(f2,z)vdf1=subs(df1,z,i/2)vdf2=subs(df2,z,3+i/2),.,11,3.3复变函数的积分,复变函数的定积分在形式上和实变函数的定积分没有什么不同，只是积分限由原来的仅仅是实数变为可以是复数的情况了。具体格式为：int(function,varriable,a,b)function为被积分的复变函数表达式，varibale为积分变量，a和b为积分下上限。,例5计算定积分,%complex04.mclearsymszf1=z*cos(z);f2=log(z+1)/(z+1);inf1=int(f1,z,0,i)inf2=int(f2,z,0,i),%计算结果inf1=cosh(1)-sinh(1)-1Inf2=1/2*log(1+i)2-1/2*log(2)2,.,12,4复变函数的Taylor展开,4.1复变函数的Taylor展开,Taylor级数展开在复变函数中有很重要的地位，比如复变函数的解析性等。函数f(x)在x=x0点的Taylor级数展开如下：,在Matlab中可由函数Taylor来实现，具体格式为：,例6将后面的函数展开为复数变量z的幂级数,%complex05.mclearsymszf=1/(1+z)2;F=taylor(f,10,z,0);,%计算结果F=1-2*z+3*z2-4*z3+5*z4-6*z5+7*z6-8*z7+9*z8-10*z9,f为需要展开的函数表达式，n声明输出展开式的前n项，varibale声明展开变量，a表示变量求导的取值点。,taylor(f,n,varriable,a),.,13,5Laplace变换及其逆变换Fourier变换及其逆变换,1.Laplace变换L=laplace(F):返回默认独立变量t的符号表达式F的拉普拉斯变换,函数返回默认为s的函数。如果F=F(s),则Laplace函数返回t的函数L=L(t)。其中L=L(s)=int(F(t)*exp(-s*t),0,inf)L=laplace(F,t):以t代替s的拉普拉斯变换。函数返回t的函数。其中L=L(t)=int(F(s)*exp(-t*s),0,inf)L=laplace(F,w,z):以z代替s的拉普拉斯变换(相对于w的积分)。函数返回t的函数。其中L=L(z)=int(F(w)*exp(-z*w),0,inf),5.1Laplace变换及其逆变换,.,14,%complex06.mclearsymsastwzL1=laplace(x5)L2=laplace(exp(a*s)L3=laplace(sin(w*x),t)L4=laplace(cos(x*w),t)L5=laplace(xsym(3/2),t)%计算结果L1=120/s6L2=1/(t-a)L3=w/(t2+w2)L4=t/(t2+x2)L5=3/4*pi(1/2)/t(5/2),.,15,2.Laplace逆变换F=ilaplace(F):返回默认独立变量s的符号表达式L的拉普拉斯变换,函数返回默认为t的函数。如果F=F(t),则iLaplace函数返回x的函数F=F(x)。这里F=L(t)=int(L(s)*exp(s*t),s,c-i*inf,c+i*inf)其中c为选定的实数使得L(s)的所有奇点都在直线s=c的左侧。F=ilaplace(L,y):以y代替默认的t的函数，且有ilaplace(L,y)=F(y)=int(L(y)*exp(s*y),s,c-i*inf,c+i*inf)F=ilaplace(L,y,x):以x代替t的函数。有ilaplace(L,y,x)=F(y)=int(L(y)*exp(x*y),y,c-i*inf,c+i*inf),.,16,%complex07.mclearsymsstwxyF1=ilaplace(1/(s-1)F2=ilaplace(1/(t2+1)F3=ilaplace(t(-sym(5/2),x)F4=ilaplace(y/y2+w2,y,x)F5=ilaplace(sym(laplace(F(x),x,s),s,x)%计算结果F1=exp(t)F2=sin(x)F3=4/3/pi(1/2)*x(3/2)F4=cos(w*x)F5=F(x),.,17,5.2Fourier变换及其逆变换,1.Fourier积分变换F=fourier(f):返回默认独立变量x的数量符号f的fourier变换,返回默认为w的函数。如果f=f(w),则fourier函数返回t的函数F=F(t)。其中F=F(w)=int(f(x)*exp(-i*w*x),-inf,inf)F=fourier(f,v):以v代替默认变量w的fourier变换。且fourier(f,v)=F(v)=int(f(x)*exp(-i*v*x),x,-inf,inf)F=fourier(f,u,v):以v代替x且对u积分。且有fourier(f,u,v)=F(v)=int(f(u)*exp(-i*v*u),u,-inf,inf),%complex08.msymssvwxF1=fourier(1/t)F2=fourier(exp(-x2),x,t)F3=fourier(exp(-t)*sym(Heaviside(t),v)F4=fourier(diff(sym(F(x),x,w),%计算结果F1=i*pi*(Heaviside(-w)-Heaviside(w)F2=pi(1/2)*exp(-1/4*t2)F3=1/(1+i*v)F4=I*w*fourier(F(x),x,w),.,18,2.Fourier逆变换f=ifourier(F):返回默认独立变量w的符号表达式F的fourier逆变换,返回x的函数。如果F=F(x),则ifourier函数返回t的函数f=f(t)。一般地f(x)=1/(2*pi)*int(F(w)*exp(i*w*x),w,-inf,inf)f=ifourier(F,u):以u代替x,且ifourier(F,u)=f(u)=1/(2*pi)*int(F(w)*exp(i*w*u),w,-inf,inf)f=ifourier(F,v,u):以v代替w的fourier逆变换，且有ifourier(f,v,u)=f(u)=1/(2*pi)*int(F(v)*exp(i*v*u),v,-inf,inf),%complex09.msymstuwxf1=ifourier(w*exp(-3*w)*sym(Heaviside(w)f2=ifourier(1/(1+w2),u)f3=ifourier(v/(1+w2),v,u)f4=ifourier(sym(fourier(f(x),x,w),w,x),%计算结果f1=1/2/pi/(3-i*t)2f2=1/2*exp(-u)*Heaviside(u)+1/2*exp(u)*Heaviside(-u)f3=i/(1+w2)*Dirac(1,-u)f4=f(x),.,19,6留数,6.1留数的定义,留数在复变函数中有着重要地位，利用它可以来计算复变函数的积分。下面对于复变函数的分子和分母都是多项式的情形，给出留数的计算方法。,称为f(z)在a点的留数或残数，记作Resf(z),a。,6.2留数的计算,设a是f(z)的孤立奇点，C是a的充分小的邻域内一条把a点包含在其内部的闭路，积分,.,20,Matlab提供了计算留数的命令residue()，这个命令用来处理分子和分母都为多项式形式的复变函数。计算留数的命令的格式如下：r,p,k=residue(B,A)参数B是由复变函数的分子的系数组成的向量，参数A是由复变函数的分母的系数组成的向量，参数r返回留数，是由在不同奇点的留数组成的向量。参数p返回奇点，也是一个向量。参数k是个向量，由B/A的商的多项式系数组成，如果length(B)length(A)，则k为空向量，否则，length(k)=length(B)-length(A)+1。,另外命令residue()还可以根据已知的奇点p、奇点的留数r和k来计算分式复变函数的系数B和A，格式如下：B,A=residue(r,p,k）这个命令的各个参数的意义和上面的是完全一样的。,.,21,%complex10.mclearB=1,0;A=1,0,0,0,-1;R,P,K=residue(B,A)B,A=residue(r,p,k）,例7计算下面复变函数的留数，然后根据计算的结果反求复变函数的分式,%计算结果R=0.25000.2500-0.2500+0.0000i-0.2500-0.0000iP=-1.00001.00000.0000+1.0000i0.0000-1.0000iK=B=00.00001.00000.0000A=1.00000.00000.00000.00001.0000,.,22,例8计算下面复变函数的留数,%complex11.mclearB=1,3,0,2;A=1,6,-1;R,P,K=residue(B,A)%计算结果R=18.67060.3294P=-6.16230.1623K=1-3,.