第六章样本及其抽样分布.ppt

第6.16.2节数理统计学中的基本概念,数理统计的任务:观察现象,收集资料,创建方法,分析推断。,统计推断:伴随着一定概率的推测。其特点是:由“部分”推断“整体”。,总体:研究对象的全体(整体)。,个体:每一个研究对象。实际上是对总体的一次观察。,无限总体,第六章随机样本及抽样分布,样本:由部分个体构成的集合。经常说,来自(或取自)某总体的样本。,样本具有二重性:在抽样前,它是随机向量,在抽样后,它是数值向量(随机向量的取值)。,样本选择方式:(1)有放回抽样.(2)无放回抽样,特别,样本容量总体数量时,无放回抽样可近似看作有放回抽样.,简单随机样本(s.r.s):具有两个特点的样本:代表性(组成样本的每个个体与总体同分布),独立性(组成样本的个体间相互独立)。,样本容量:样本中所含个体的个数。,如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则,总体:这批灯泡(有限总体)个体:这批灯泡中的每一只样本:抽取的100只灯泡(简单随机样本)样本容量:100样本观测值:x1,x2,x100,定义:设X为一随机变量,其分布函数为F(x),X1,X2,Xn是一组独立且与X同分布的随机变量,称X为总体;(X1,X2,Xn)为来自总体X(或分布函数F(x)的简单随机样本;n为样本容量;在依次观测中,样本的具体观测值x1,x2,xn称为样本值,XX1,X2,X100100样本值,注意:样本是一组独立同总体分布相同的随机变量.,总体,选择个体,样本,观测样本,样本观察值,(数据),数据处理,样本有关结论,统计的一般步骤:,推断总体性质,统计量,为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考虑样本的函数,且不含任何未知参数,这样的“不含未知参数的样本的函数”称为统计量。,统计量,定义:设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除样本的函数外不含任何未知参数,则称g(X1,X2,Xn)为统计量.,统计量的分布称为抽样分布.,样本均值,常用统计量:,样本方差,样本标准差,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,(6)顺序统计量与样本分布函数,设X1,X2,Xn的观察值为x1,x2,xn,从小到大排序得到:x(1),x(2),x(n),定义X(k)=x(k),由此得到的(X(1),X(2),X(n)或它们的函数都称为顺序统计量.显然X(1)X(2)X(n)且有X(1)=min(X(1),X(2),X(n),X(n)=max(X(1),X(2),X(n),1)样本中位数,2)样本极差,R=X(n)-X(1),样本分布函数(经验分布函数),格里汶科定理:,设总体X的分布是F(x),则下式成立,第6.3节抽样分布,一、样本均值的分布,定理：设X1，X2,Xn是来自总体N(,2)的样本，,是样本均值，则有,注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有,二、顺序统计量的分布,1、（X（1），X（2）X(n)）的概率密度函数为,2、样本中位数的概率密度函数为,3、样本极差的概率密度函数为,其中,z,1-,例6.3.1设XN(0,1),分别为0.95,0.975,0.75,求X关于的100%分位数.,三、标准正态分布及其100%分位数,定义:设XN(0,1),对任意01,若PX=,则称为标准正态分布的100%分位数,记为,解:=0.95时,反查表得:,z0.95=1.64,类似可得:,z0.975=1.96,z0.75=0.69,z,分布及其性质,1.定义:称n个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方和X的分布为自由度为n的分布,记作,(2)X1,X2,Xk独立,Xi(ni),(i=1,2,k),则,2.性质:,(1)X1,X2,Xn独立,XiN(0,1),(i=1,2,n),则,(3)X1,X2,Xn为来自总体N(,2)的简单随机样本,则,四、,（4）,例6.3.2设是来自总体的s.r.s,则服从()分布。,例6.3.3(983)设是取自总体N(0,4)的s.r.s,当a=,b=时,解(1)服从,(2)由题意得,a=1/20b=1/100,3.的密度曲线,n=1,n=4,n=10,随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.,4.分布的100%分位数,定义:设,对于给定的(01),若PX1=0.025,PX2=0.05,求1,2.,解:,查表得:,查表得:,五、t分布及其性质,1.定义,设随机变量,随机变量,Y且它们互相独立,则称随机变量的分布为自由度是n的t分布,记作,可以证明t分布的概率密度函数为,特点:关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.,2.t分布的密度曲线:,3、t分布的性质,（1）,（2）,（3）h(t)的图形关于Y轴对称,4.t分布的100%分位数:,对于给定(01),若Pt(n)=,则称为t分布的100%分位数,记为:,1-,例6.3.5.设tt(15),求(1)=0.995(2)=0.005的100%分位数;,解:(1)=t0.995(15),查表得,=2.9467,(2)=t0.005(15),查表得,=-2.9467,注:,t,9,解:,故,与独立,所以,六、F分布及其性质,1.定义,设随机变量随机变量且它们相互独立,则称随机变量的分布为自由度是的F分布。记作,可以证明，,的概率密度函数为,2.F分布的概率密度曲线,3.性质:,4.F分布的100%分位数,设F,对于给定(01),若PF=,则称为F分布的100%分位数,记为:,5.100%分位数的计算,(1)若PF=,则,(2)若PF=(比较小),则,P1/F1/=1-,故,例6.3.7设FF(24,15),分别求满足,解(1)=F0.975(24,15),=2.29,(2)=F0.95(24,15),=2.70,(3)比较小,P1/F1/=0.975,所以,=0.41,七、抽样分布基本定理,1、设是来自总体的s.r.s,表示样本均值，则,2、设XN(1,12),YN(2,22),X,Y相互独立,从中分别抽取容量为n1,n2的样本,样本均值分别记为,3、定理6.3.3,设X1，X2,Xn是来自总体,的样本，,分别是样本均值和样本方差，则有,注：由,可得,4、定理6.3.4,设X1，X2,Xn是来自总体,的样本，,分别是样本均值和样本方差，则有,例6.3.8(993)