常微分方程CH-4-SUMMARY

,Chapter4高阶微分方程,习题课,(1)存在唯一性定理,(2)线性齐次方程解的结构与表示,(3)线性非齐次方程解的结构与表示,1.线性微分方程基本理论,机动目录上页下页返回结束,及,都是区间,上的连续函数，,及任意的,方程,存在唯一解,定义于区间,上,定理1线性微分方程解的存在唯一性定理,如果,且满足初始条件：,则对于任一,机动目录上页下页返回结束,设,在,如果存在不全为零的常数,则称这些函数是线性相关的，,就称这些函数在所给的区间上线性无关。,上有定义，,使得,否则如果,定义1（线性相关与线性无关）,机动目录上页下页返回结束,称,设函数组,每一个均有,阶导数，,为这些函数的伏朗斯基（Wronski）行列式。,定义2（Wronski）行列式,机动目录上页下页返回结束,定理2（叠加原理）,(2)的k个解，,则对任意常数,也是(4.2)的解。,是方程,如果,定理3,在,上线性相关，,若函数,则,定理4,在区间,上线性无关,如果方程(2)的解,则,机动目录上页下页返回结束,的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组。,方程,定义3基本解组,机动目录上页下页返回结束,定理5（通解结构定理),是方程(2)的n个线性无关的解,则方程(2)的,通解可表为,方程(2)的所有解。,(3),其中,是任意常数，,若,且通解(3)包括了,机动目录上页下页返回结束,定理6,n阶齐线性方程(2)一定存在且至多存在n个线性无关的解。,定理7,n阶非齐线性方程(1)一定存在且至多存在n+1个线性无关的解。,定理8,为方程(2),的基本解组，而,是方程(1)的某一个解，,则方程(1)的通解可表为,设,机动目录上页下页返回结束,定理9（Liouville公式）,为方程(2)在a,b上的任意,n个解，,则,设,机动目录上页下页返回结束,2.求解线性方程的方法,(2)比较系数法（常系数非齐线性方程）,(3)常数变易法（非齐线性方程）,(4)*Laplace变换（常系数线性方程的初值问题）,(5)降阶法（变系数线性方程）,(1)Euler待定指数函数法（常系数齐线性方程）,(6)*幂级数法（变系数线性方程）,机动目录上页下页返回结束,则,结论i若特征方程,有n个互异的实根,的通解为:,Euler待定指数函数法,1.常系数齐线性方程,机动目录上页下页返回结束,设(5)的特征方程有m个互不相同的实特征根,结论ii,则方程(5)的基本解组为：,其重数分别为,且,机动目录上页下页返回结束,对于特征方程的每一个k重复特征根,在基解组中对应占有2k项,为,机动目录上页下页返回结束,2.常系数非齐次线性方程,(i)比较系数法,结论I,有形如,的特解，,其中k为,的重数。,机动目录上页下页返回结束,结论II,有形如,的特解，,其中k为,的重数，,机动目录上页下页返回结束,(ii)常数变易法,设,则,为(2)的通解。,可用常数变易法求(1)的特解,其中,满足,是方程(2)的基本解组，,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,例设f(t)在,证明对方程,的任一解x(t)均有,上连续，且,证明,（1）求,的通解。,（2）利用常数变易法,设,为,的解，令,机动目录上页下页返回结束,得,由LHospital法则，,同理可证,机动目录上页下页返回结束,（iii）运用Laplace变换求解IVP,IVP,对上述方程取Laplace,得,取Laplace逆变换,得,机动目录上页下页返回结束,Example利用Laplace变换，求,Solution,记A=y(0)，B=y(0)，得,的通解.,取Laplace变换得,取Laplace逆变换,得,机动目录上页下页返回结束,3.高阶方程的降阶法,令,，则,类型I,则方程就可降低一阶。,类型II,(3),令,并视x为新自变量，,y为新未知函数，,机动目录上页下页返回结束,类型III,齐线性方程,假设(2)有k个线性无关的解,(2),若知道方程的k个线性无关的特解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低k阶.,或,令,则,且有k-1个线性无关的解,机动目录上页下页返回结束,设,为,的一个解，则,为(6)的通解，且它包括了方程(6)的所有解。,结论:(二阶齐线性方程的解),机动目录上页下页返回结束,4.Euler方程,引进自变量的变换,或,方程变为常系数齐线性方程，,求其通解，然后用t=ln|x|代回，即得Euler方程的通解。,机动目录上页下页返回结束,P1653(2),（I）作变换,（II）,先求,的解。,令,得,的通解为,再利用常数变易法求原方程的通解。,机动目录上页下页返回结束,P1653(3),（I）作变换,（II）,先求,的解。,令,得,的通解为,再利用常数变易法求原方程的通解。,机动目录上页下页返回结束,1.掌握线性方程解的性质及结构。,2.熟练掌握常数变易法。,3.熟练掌握常系数齐线性方程的解法。,4.掌握欧拉方程的解法。,5.熟练掌握比较系数法。,6.掌握高阶方程的降阶法。,基本要求：,机动目录上页下页返回结束,设,为,的解，,为,(1),(2),P132,7Proof,n个线性无关的解，,习题选讲,机动目录上页下页返回结束,则,为(1)的n+1个解.,进一步,为(1)的n+1个线性无关的解。,事实上,若,机动目录上页下页返回结束,则,由此可得,否则,将为(2)的解.,这样,所以,因为,线性无关，,机动目录上页下页返回结束,因此,为(1)的n+1个线性无关的解。,进一步,机动目录上页下页返回结束,则,为(2)的n+1个线性无关的解，,由,可得,矛盾.,因此(1)至多存在n+1个线性无关的解。,证毕.,下证(1)至多存在n+1个线性无关的解。,如果(1)有n+2个线性无关的解,机动目录上页下页返回结束,则,必为(2)的n+1个线性相关的解，,从而存在常数,也即,显然,线性相关。,不全为零，,下证(1)至多存在n+1个线性无关的解。,(法ii)如果(1)有n+2个解,所以(1)至多存在n+1个线性无关的解。,机动目录上页下页返回结束,P1325解：,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,P1326,(1),机动目录上页下页返回结束,(2)因为,为方程的解，则由刘维尔公式即T5结论,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,从而方程的通解可表示为：,其中,为任意常数,机动目录上页下页返回结束,设,是二阶齐线性方程,的解，,代入方程得,另证：,令,机动目录上页下页返回结束,令,有,即,这里是,解得,因而,任意常数。,机动目录上页下页返回结束,取,，得方程的一个特解：,它与,显然是线性无关的。,于是，方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,P1642(17),机动目录上页下页返回结束,P1667,为,的解。,P1656,常数变易法,P1835(3),P1831(6),机动目录上页下页返回结束,P1837,Proof:,因为,所以,为(4.57)的解.,(4.57),(4.58),机动目录上页下页返回结束,又,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,因此,为(4.57)的通解.,机动目录上页下页返回结束,1.,证明(1),设,在0,1上连续。,满足边值条件,的任意两个解都是线性相关的。,(2)对任意f(x),BVP,有唯一解的充要条件是(1),(2)只有零解。,练习题,机动目录上页下页返回结束,2.,是四阶常系数齐线性的解，,已知,试确定该方程，并求其通解。,3.试讨论当p,q取什么值时，方程,的一切解当,时，都趋于零。,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,8.,机动目录上页下页返回结束,4.,解方程不显含x,代入方程，得,所以方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,5.,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,机动目录上页下页返回结束,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,机动目录上页下页返回结束,6.,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,机动目录上页下页返回结束,解得,机动目录上页下页返回结束,故原方程的通解为,即,机动目录上页下页返回结束,例8,解,(1)由题设可得：,解此方程组，得,机动目录上页下页返回结束,(2)原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,解,例,这是一个欧拉方程,代入原方程得,(1),机动目录上页下页返回结束,和(1)对应的齐次方程为,(2),(2)的特征方程为,特征根为,(2)的通解为,设(1)的特解为,机动目录上页下页返回结束,得(1)的通解为,所以原方程的通解