常微分方程数值解法 (3)

第七章常微分方程数值解/*NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations*/,考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:,只要f(x,y)在a,bR1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在a,b上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。,要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0x1xn=b处的近似值,节点间距为步长，通常采用等距节点，即取hi=h(常数)。,1欧拉方法/*EulersMethod*/,欧拉公式：,欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有1阶精度。,Ri的主项/*leadingterm*/,亦称为欧拉折线法/*Eulerspolygonalarcmethod*/,1EulersMethod,欧拉公式的改进：,隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/,由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有1阶精度。,1EulersMethod,梯形公式/*trapezoidformula*/,显、隐式两种算法的平均,注：的确有局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,中点欧拉公式/*midpointformula*/,假设，则可以导出即中点公式具有2阶精度。,需要2个初值y0和y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法/*double-stepmethod*/，而前面的三种算法都是单步法/*single-stepmethod*/。,单步法和多步法,单步法：在计算yi+1时只利用yi多步法：在计算yi+1时不仅利用yi,还要利用yi1,yi2,k步法：在计算yi+1时要用到yi,yi1,yik+1,显式计算公式可写成:yk+1=yk+hf(xk，yk;h）隐式格式:yk+1=yk+hf（xk，yk,yk+1;h）它每步求解yk+1需要解一个隐式方程,1EulersMethod,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,Cantyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?,Doyouthinkitpossible?,Well,callmegreedy,OK,letsmakeitpossible.,改进欧拉法/*modifiedEulersmethod*/,注：此法亦称为预测-校正法/*predictor-correctormethod*/。可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,1EulersMethod,2龙格-库塔法/*Runge-KuttaMethod*/,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,9,Runge-Kutta方法的推导思想,对于常微分方程的初值问题,的解y=y(x)，在区间xi,xi+1上使用微分中值定理，有,即,2020/6/8,10,引入记号,就可得到相应的Runge-Kutta方法,2020/6/8,11,如下图,即,则上式化为,即Euler方法,Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法,2020/6/8,建立高精度的单步递推格式。,斜率一定取K1K2的平均值吗？,步长一定是一个h吗？,2Runge-KuttaMethod,首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得,Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开,Step2:将K2代入第1式，得到,2Runge-KuttaMethod,Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,2Runge-KuttaMethod,最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：,2Runge-KuttaMethod,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h取小。,3收敛性与稳定性/*ConvergencyandStability*/,收敛性/*Convergency*/,例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的x=xi=ih，有,3ConvergencyandStability,稳定性/*Stability*/,例：考察初值问题在区间0,0.5上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.00002.00004.00008.00001.60001013.2000101,1.00002.50001016.25001021.56251023.90631039.7656104,1.00002.50006.25001.56261013.90631019.7656101,1.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107,Whatiswrong?!,3ConvergencyandStability,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程/*testequation*/,常数，可以是复数,3ConvergencyandStability,例：考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,3ConvergencyandStability,例：隐式龙格-库塔法,而显式14阶方法的绝对稳定区域为,其中2阶方法的绝对稳定区域为,无条件稳定,4线性多步法/*MultistepMethod*/,用若干节点处的y及y值的线性组合来近似y(xi+1)。,其通式可写为：,当10时，为隐式公式;1=0则为显式公式。,基于数值积分的构造法,4MultistepMethod,基于泰勒展开的构造法,将通式中的右端各项yi1,yik;fi+1,fi1,fik分别在xi点作泰勒展开，与精确解y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较。通过令同类项系数相等，得到足以确定待定系数0,k;1,0,k的等式，则可构造出线性多步法的公式。,4MultistepMethod,解：,/*y(xi)=yi*/,个未知数个方程,7,5,4MultistepMethod,令1=2=0,以yi+1取代yi1，并取1=2=0,取1=1,2=0得到辛甫生/*Simpson*/公式与Milne公式匹配使用,辛甫生/*Simpson*/公式,在区间xi1,xi+1上积分，并用Simpson数值积分公式来近似