工科数学分析-映射与函数VIP

1.分析基础:函数,极限,连续(第1章）,2.微积分学:一元微积分,(上册2，3两章),(下册5，6章),3.无穷级数（第4章）,4.常微分方程方程组（第7章）5.无限维分析入门（第8章）,主要内容,多元微积分,机动目录上页下页返回结束,第一章,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,函数，极限，连续,第一章,二、实数的完备性,三、映射四、函数,一、集合及其运算,第一节,机动目录上页下页返回结束,集合，映射与函数,元素a属于集合M,记作,元素a不属于集合M,记作,一、集合及其运算(setsanditsoperation),1.定义及表示法(definitionandrepresentation),定义1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集,记作.,注:M为数集,表示M中排除0的集;,表示M中排除0与负数的集.,机动目录上页下页返回结束,表示法：,(1)列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素.,例:,有限集合,自然数集,(2)描述法：,x所具有的特征,例:整数集合,或,有理数集,p与q互质,实数集合,x为有理数或无理数,(interval)开区间,闭区间,机动目录上页下页返回结束,半开区间,无限区间,点的邻域(neighborhood),其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.,去心邻域,左邻域:,右邻域:,机动目录上页下页返回结束,是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算(relationsandoperation),定义2.,则称A,若,且,则称A与B相等,例如,显然有下列关系:,若,设有集合,记作,记作,必有,机动目录上页下页返回结束,定义3.给定两个集合A,B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,机动目录上页下页返回结束,或,设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：,（1）交换律,（2）结合律,（3）分配律,（4）对偶律,以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.,二.实数的完备性,常用记号,实数完备性定理：确界原理,引入：,精确定义：,三、映射(map),1.映射的概念,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位的集合,机动目录上页下页返回结束,引例,定义.,设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规,则f,使得,有唯一确定的,与之对应,则,称f为从X到Y的映射,记作,元素y称为元素x在映射f下的像(image),记作,元素x称为元素y在映射f下的原像(inverseimage).,集合X称为映射f的定义域(domaimofdefinition);,Y的子集,称为f的值域.,机动目录上页下页返回结束,注意:,1)映射的三个要素定义域,对应规则.，值域,2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.,例1设,对每个,.,例2设,显然,是一个映射,的定义域,值域,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间-1,1上.,这是一个映射,其定义域,值域,是从集合X到集合Y的映射。,对映射,若,则称f为满射(surjection);,若,有,则称f为单射(injection);,若f既是满射又是单射,则称f为双射(bijection)或一一映射.,例2,机动目录上页下页返回结束,例3,X(数集或点集),说明:,在不同数学分支中有不同的惯用,X(),Y(数集),机动目录上页下页返回结束,f称为X上的泛函,X(),X,f称为X上的变换,R,f称为定义在X上的为函数,映射又称为算子.,名称.例如,2.逆映射与复合映射,(1)逆映射的定义(inversemapping),定义:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上,的逆映射记成,例如,映射,其逆映射为,其中,称此映射,为f的逆映射.,机动目录上页下页返回结束,(2)复合映射(compositemapping),机动目录上页下页返回结束,手电筒,D,引例.,复合映射,定义.,则当,由上述映射链可定义由D到Y的复,设有映射链,记作,合映射,时,或,机动目录上页下页返回结束,注意:构成复合映射的条件,不可少.,以上定义也可推广到多个映射的情形.,返回,定义域,四、函数(function),1.函数的概念,定义.设数集,则称映射,为定义在,D上的函数,记为,f(D)称为值域,函数图形:,机动目录上页下页返回结束,自变量,因变量,(对应规则),(值域),(定义域),例如,反正弦主值,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.,定义域,值域,又如,绝对值函数,定义域,值域,机动目录上页下页返回结束,函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.,函数的两要素:,定义域与对应法则f.,如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,例如:,对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.,阶梯曲线,x表示不超过的最大整数,2.取整函数y=x,如-3.4=-4,1=1,定义域D=(,+),值域=Z.,2.函数的几种特性,设函数,且有区间,(1)有界性(boundedness),使,称,说明:还可定义有上界、有下界、无界,(2)单调性(monotonicity),为有界函数.,使,若对任意正数M,均存在,则称f(x)无界.,称为有上界,称为有下界,当,时,称,为I上的,称,为I上的,单调增函数;,单调减函数.,机动目录上页下页返回结束,(2)有界与否是和D有关的.,例如在实数集上有界,在上有下界,但无上界,故而无界.,(3)奇偶性(odevity),且有,若,则称f(x)为偶函数;,若,则称f(x)为奇函数.,说明:若,在x=0有定义,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,机动目录上页下页返回结束,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,机动目录上页下页返回结束,(4)周期性(periodicity),且,则称,为周期函数,若,称l为周期,(一般指最小正周期).,周期为,周期为,注:周期函数不一定存在最小正周期.,例如,常量函数,狄里克雷函数,x为有理数,x为无理数,机动目录上页下页返回结束,3.反函数与复合函数,(1)反函数的概念及性质(inversefunction),若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为f的反函数.,机动目录上页下页返回结束,其反函数,(减),(减).,1)yf(x)单调递增,且也单调递增,性质:,2)函数,与其反函数,的图形关于直线,对称.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,机动目录上页下页返回结束,指数函数,(2)复合函数,则,设有函数链,称为由,确定的复合函数,机动目录上页下页返回结束,复合映射的特例(compositefunction),u称为中间变量.,注意:构成复合函数的条件,不可少.,例如,函数链:,函数,可定义复合,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,如:,如:,4.函数的运算,和(差),积,商,例设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)和奇函数h(x),使得,且,利用(1)、(2)式,就可作出g(x),h(x).,作,则,证毕.,4.初等函数(elementaryfunction),(1)基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2)初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数.,例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成,称为初等函数.,可表为,故为初等函数.,又如,双曲函数与反