山东大学数学分析5VIP

微分中值定理及其应用,5.1微分中值定理,一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理,MadebyHuilaiLi,中值定理的演示,T与l平行,这样的x可能有好多,MadebyHuilaiLi,高,了,低,了,到了,中值定理的演示,一个特殊的例子：假设从A点运动到B点，那么有许多种走法，首先我们来看一个例子。,行走的典型路线如下：,MadebyHuilaiLi,这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0.几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.,中值定理的演示,典型情形的证明思想,结论:Rolle定理,一、罗尔(Rolle)定理,例如,几何解释:,证,注意:罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,f(x)满足条件(2),(3),但不满足条件(1),在(0,1)内,f(x)在-1,1上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当x时,f(x)=1.,x时,f(x)=1.,x=0时,f(0)不存在.,(ii),(iii)y=f(x)=x,x1,2,f(x)在1,2上满足条件(1),(2),但不满足条件(3),在(1,2)内,f(x)=1.,例1设函数f(x)=(x1)(x2)(x3),不求导数,试判断方程fx有几个实根,它们分别在何区间?,解:f(x)在1,2上连续,在(1,2)上可导,且f(1)=f(2);,由罗尔定理:1,使f(1;,同理,2,注意到,f(x)=0为二次方程,使f(2;,它至多有两个实根,故1,2是f(x)=0的全部实根.,例2,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,MadebyHuilaiLi,T与l平行,中值定理的演示,更广泛情形的证明思想:,同一点,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,推论2,证明,推论1,例3,证,例4,证,由上式得,例5.设ab0n1.,证明:,令f(x)=xn显然f(x)在b,a上满足拉格朗日定理条件,证明:nbn1(ab)anbnnan1(ab),有f(a)f(b)=f()(ab)(ba),即anbn=nn1(ab),又01,所以bn1n1an1,nbn1(ab)nn1(ab)nan1(ab),即nbn1(ab)anbn0).,(2)P(x)=1-0.00002x,(3)令P(x)=0得驻点x=5104,x=5104是唯一驻点，又利润最大值存在.,练习：,当生产5104个单位时获得的利润最大.,1）求出函数的定义域；,2）求出函数f(x)的导数f(x)；,3）令f(x)=0,解出方程f(x)=0的全部解，得到f(x)的全部驻点。,4）列表考察f(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点，并由极值点求出函数的极值。,求函数极值的步骤：,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),小结与作业,最值问题的两种类型：,(1)求出给定解析式的导数f(x)；,令f(x)=0，求出驻点；,(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；,(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最大值.,1.已知函数解析式及闭区间求最值.,2.实际问题求最值.,(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；,(2)根据实际问题确定函数的定义域；,(3)求出函数y=f(x)的导数，令f(x)=0，求出驻点；若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求.,思考题,下命题正确吗？,思考题解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,5.4曲线的凹凸与拐点,前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。,如右图所示L1，L2，L3虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。,L1是“凹(上凸)”弧，L2是“凸(下凸)”弧，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是不一致的。,K切=f(x)0y单调递增,凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方.,凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方.,K切=f(x)0y单调递减,x0,y0,p,x0,y0,p,x,y,y,x,o,o,几何特征,连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.,一、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方(凹函数),图形上任意弧段位于所张弦的下方(凸函数),的值分别是,.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间.,x,y,o,a,b,x,y,o,曲线的凹凸与拐点,a,b,几何特征,凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.,凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.,定理1,定理1可根据定义进行证明，下面证明定理1.,二、曲线凹凸的判定,定理2,证明,分别应用L定理，得,两式相减，得,由假设,这就证明了,同理可证（1）,注,定理的结论可推广到任意区间上,例1,解,注意到,三、曲线的拐点及其求法,1.定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2.拐点的求法,证,方法1:,例2,解,凸的,凹的,凸的,拐点,拐点,方法2:,例3,解,注意:,二阶导数变号，,例5,解,例6,解,是拐点,例7,Jensen不等式,证,由Taylor公式，得,思考题,思考题解答,例,小结:,1.如何来研究函数的凹凸性.,2.凹与凸的定义,拐点的定义.,3.凹与凸的判定.,5.6函数图像的讨论,一、渐近线,定义:,1.铅直渐近线,例如,有铅直渐近线两条:,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,注意:,例1,解,二、图形描绘的步骤,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,三、作图举例,例2,解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,作图,例3,解,偶函数,图形关于y轴对称.,拐点,极大值,列表确定函数升