傅里叶变换及其应用自学ppt.pptx

基本原理,欧拉幅角公式-复变函数,或者：,证明,欧拉公式建立了三角函数和指数函数之间的关系，在复变理论中占有很重要的位置。,傅里叶变换和傅里叶积分定理,f(x)的傅里叶变换定义为,这个积分是s的函数，用同样的公式对F(s)变化，我们有：,当f(x)是x的偶函数时，重复变换得到f(),它与我们开始时的函数相同，此为傅里叶变换的循环换特性。当f(x)是x的奇函数时，重复变换得到f(-)。,傅里叶变换和傅里叶积分定理,一般地，不论非f(x)是奇函数、偶函数或者是一般函数，重复变换都将得到f(-x)。,可逆性傅里叶变换的常用公式为：,我们把F(s)称为f(x)的-i变换而把f(x)称为F(s)的+i变换；即：,说明：在f(x)的不连续点上，等式的左边应该为1/2(f(x+)+f(x-),也即，当从两侧逼近不连续点x时，等式左边应该为f(x)的不相等极限的均值。,傅里叶变换和傅里叶积分定理,可以把变换公式中出现的因子2与s看成一体，得到下面的形式：,傅里叶变换存在的条件,若1.f(x)从-到的积分存在；2.f(x)中的任何断点都是有限的，则上面的表达式等于f(x)(或者在f(x)的不连续点等于1/2(f(x+)+f(x-)。,奇偶性及其意义,任意函数f(x)都可以无二义地分解为奇部和偶部，即：,奇偶性及其意义,设：其中E和O一般是复的,f(x)的傅里叶变换可以简化为：,由此可得如果函数式偶的，它的变换也是偶的，如果函数是奇的，它的变换也是奇的。,奇偶性及其意义,由此可得如果函数式偶的，它的变换也是偶的，如果函数是奇的，它的变换也是奇的。,余弦和正弦变换,对正的s，函数f(x)的余弦变换定义为,应当注意到余弦变换没有考虑f(x)的坐标原点左边的部分，它仅定义了坐标原点右边的部分。,对正的s，函数f(x)的正弦变换定义为,公式的含义,用图形解释傅里叶积分,给定f(x),我们画出一个震荡的f(x)cos2x，介于f(x)与-f(x)包络之间，因为,所以f(x)cos2sx下面积的两倍就是Fc(s),上图这个面积实际上是趋近于零，而这意味着s的值相当大，第三张图是s值较小的情况。,公式的含义,把被积式f(x)cos2xsdx看作幅度为频率为的余弦函数，也即把它看作的一个函数，对x的固定值进行积分。对x所有值得此类曲线求和即得到Fs(x)。,卷积,卷积的含义,卷积描述了一个观测仪器在一些变量的小范围上对某些物理量进行加权平均的操作。常常发生的情况是，加权函数的形式不随变量中心值得改变而改变，观测到的量是所要求的量的分布和加权函数的卷积，而不是所要求的物理量本身的值。所有物理观测都以这种方式受到仪器分辨能力的限制，也正是由于这个原因，卷积是无所不在的。,两个函数f(x)和g(x)的卷积是：,卷积的理解一,将u看作变量而将x看成参数：先将g(u)翻转成g(-u)，然后将g(-u)移动x距离即g(-(u-x);乘积曲线f(u)g(x-u)下的面积就是卷积h(x)。,卷积的理解二,将x看作变量而将u看成参数：f(x)被分割为无穷小的柱条。每个柱条的作用将熔铸为以柱条为中心而具有g(x)曲线形状的一段子波形。图中只画出除了两个这样条柱熔铸的子波形，这样h(x)就等于所有的子波形在点x处贡献的总和。,卷积的理解三,将u看作变量而将x看成参数:其中g(u)关于u=x/2作了翻转。和前面一样，乘积曲线f(u)g(x-u)下的面积就是卷积h(x)。从这个观点可以形象地看出卷积对翻转的中心线位置的依赖性。,卷积的含义,卷积的定律：,序列积,假设给定两个函数f和g，要求计算它们的卷积。我们构造f值序列，它们位于宽度为ring的小的均匀间隔上,相应的g的序列为,我们可以很翻遍地将g序列系在一个活动纸条上，纸条可以连续地滑动到与f序列的每个循序序列值相对应的位置上(x)。g序列式按照公式的要求以相反地序列写在纸条上的。,我们可以定义fi和gi的序列积的第(i+1)项如下,序列积的计算是一个完全可行的过程。两个序列可以方便地写成竖直的列，相应的结果写在由移动纸条上某个合适的位置上所画的箭头所指的位置。,22334,211,2491013108,14,4,56,1、序列积是一个比任何序列都要长的序列，它的项数比两个序列的项数的总和少一个。2、序列积的各元素的和等于两个序列的各项和的乘积。,几个特殊的序列,1、,序列J起着与冲激符号(x)类似的重要作用。对任意序列f,它有如下性质：J*f=f当然只有一个元素的序列1和其他一些数列比如100也具有这个性质。,2、或,3、,可以生成n项的滑动平均,几个特殊的序列,4、半无限序列,Sn是求一个序列的前n项和。,序列乘法的逆运算,如果f*g=h，则h称为f和g的序列积,这是因为序列h构成了用f和g所表示的多项式的乘积的多项式系数。反过来，已知f和h，求解g的过程可以称作序列除法。对于这样的问题，可以用多项式除法来解决。,用矩阵表示的序列积,设序列h是序列f和g的序列积，其中,假设f有5个元素，g有3个元素，则h有7个元素。,对于用列矩阵表达序列的情况，交换律a*x=x*a不再适用。,自相关函数和五角星,如果f(x)是一个实函数，则ff是一个偶函数，其值在原点处取得最大值，即随着移位的引入，乘积的积分值会下降。,通过把函数除以它的中心值来进行归一化，我们定义一个量r(x),我们称r(x)为f(x)的自相关函数。不过某些特定的应用场合，归一化问题常常并不重要，我们更感兴趣的是自相关函数的特性而不是它的幅度，所以，非归一化的形式就被称作自相关函数了。自相关是研究同一过程不同时刻的相互依赖关系，一个波形的普通自相关函数丢弃了其在时间维上的信息。,三重相关,互相关,两个实函数g(x)和h(x)的互相关函数定义如下,相对于g*h=h*g，h对g的互相关运算却不同于g对h的互相关运算。可以把gh看作“g扫描h”，即当g随x的变化移动时，h保持不动。和自相关的情况一样，互相关函数常被归一化使得其在原点处的值为1，并且在适当的时候，用平均值来代替无穷积分。,在复函数情况下的相关,两个实函数g(x)和h(x)的互相关函数定义如下,在复函数的情况下，我们习惯于定义（复的）相关为g*扫描h，其中g*是g的复共轭。作为一个特例，复函数f的复自相关为f*f,能量谱图,我们把一个函数的变换的模的平方称为能量谱，即F(s)2是f(x)的能量谱。尽管f(x)决定了F(s)从而也决定了F(s)2，但f(x)和它的能量谱之间并没有一一对应的关系，为了重建f(x)，必须要有F(s)以及F(s)的幅角。能量谱只包含了f(x)的某种信息，而并没有给出其傅里叶分量的相位情况。能量谱所丢失的信息和我们用自相关函数代替原始函数时所丢失的信息是完全一样的。,能量谱图,若f(x)表示的是一个物理波形，则f(x)是实的，它的能量谱是一个偶函数，因此可以由s0时的取值完全确定。为了强调这个事实，我们用术语“正频率能量谱”来表示s0的F(s)2。由于F(s)2有单位s上能量密度的性质，如果s的一个离散点上有非零的能量，那么F(s)2将会是无穷大。这是一种具有无限窄谱线的情况*,一些有用函数的符号,单位高度和单位宽度的矩形函数(x),单位高度和单位宽度的矩形函数定义：,通过使用卷积运算，矩形函数也可以用来表示滑动平均，在频域内与一个矩形函数相乘可以看成一个理想的低通滤波。符号rectx是(x)的一个代替用法。别称：门函数，窗函数，厢函数,单位高度和单位面积的三角函数(x),单位高度和单位面积的三角函数定义：,(x)函数之所以很重要，很大程度上是因为它正好是(x)的自卷积。,各种指数曲线、高斯曲线和瑞利曲线,各种指数函数：,各种指数曲线、高斯曲线和瑞利曲线,高斯函数：,高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数。,各种指数曲线、高斯曲线和瑞利曲线,二维高斯函数：,Heaviside单位阶跃函数H(x),任何有跳变的函数都可以被分解为一个连续函数和一个平移的阶跃函数。因为一个函数和H(x)相乘后，原函数在x为负时变为零，而在x为正时保持不变，所以单位阶跃函数是一种能够表达简单信号值被开关的简单手段。,补图,单位阶跃函数是表达非连续性不可缺少的辅助手段，定义为：,Heaviside单位阶跃函数H(x),阶跃函数对于简化积分上下限起了重要作用，它通过对原来的界限外的部分置零来实现。然后就可以使用常用的积分区间。比如-到+或者0到+。例如函数H(x-x)在xx时为零，那么积分,Heaviside单位阶跃函数H(x),所以R(x)实际上是一个卷积积分：,R(x)可以写成,Heaviside单位阶跃函数H(x),现在我们可以注意到，一个函数如果积分存在的话，与H(x)做卷积就是做积分运算,或,补图,符号函数sgn(x),符号函数sgn(x)(念做signumx)，根据x的符号取1或-1，即：,它与阶跃函数H(x)有点不一样，但具有阶跃函数的许多特性。它有2的正跳变，与H(x)的关系是：,滤波函数或内插函数sinc(x),我们定义：,它的特性为：sinc0=1;sincn=0,n是非零的整数。,Sinc函数独一无二的特性是在频谱上，它包含一定谱带内的所有频谱分量。进一步，在截止频率内它的频谱是平坦的。sincx与(s)是一对傅里叶变换对。sincx函数在卷积中是理想的低通滤波器。也就是说，它保留截止频率内的频率分量并保持不变，而对截止频率以外的分量全部删除。,滤波函数或内插函数sinc(x),另一个常用的函数是sincx函数的平方。,sinc2x函数的傅里叶变换是(x)函数。它的一些特性是：,冲激符号,我们把抽象的无线短暂或集中，无限强烈的单位面积冲激表示为：,此处我们赋予其意义为：,函数t-1(x/t)是一个宽为t高为t-1，具有单位面积的矩形函数；当t趋近域0变化时，变会产生一个高度逐渐增大的单位面积脉冲序列。冲激符号使我们能简洁地描述不确定的任意形状的段战脉冲。,冲激符号与单位阶跃函数的密切关系式根据在x为整数时等于1，而x为负数时等于0这一性质得出的。因此：,单位阶跃函数的导数是冲激符号。,筛选特性,我们将按照解释包含冲激符号的表达式时所用的方法来说明下式的含义。,用序列t-1(x/t)来代替(x)，进行乘法和积分运算，最后求t趋近于0时积分的极限，如下式所示：,由于等式左边对f(x)所进行的运算筛选出了函数f(x)的单个值，所以我们把它称作冲激符号的筛选特性。,筛选特性,为了强调其和卷积积分的类同之处，我们可以这样写,如果f(x)在x=0处发生跳变，则筛选积分有一个限值，一般可以表示为：,冲激符号的一个重要的性质,即，如果用系数a对x进行尺度压缩，则会导致原本为单位面积的脉冲面积缩小，于是缩冲激强度缩小到原来的1/|a|。性质(-x)=(x)，说明冲激符号具有偶对称性质,采样或复制符号III(x),其有很多显而易见的性质,显然III(x)是周期为1的函数。,III(x)的采样特性,周期采样性质是以讨论过的冲激符号的筛选积分特性的推广。因此，用III(x)和函数f(x)想乘便有效地对f(x)以单位间隔进行采样。,结果不包含两整数间III(x)=0所对应的f(x)的信息；而当x为整数时f(x)的值被保留下来。III(x)的采样特性使其成为一个很有用的工具，广泛应用于很多学科。,III(x)的复制特性,用III(x)和函数f(x)进行卷积运算当中，即,函数f(x)沿x轴正方向以单位间隔重复出现，永无止境。当然，如果f(x)的底宽大于1，则会发生交叠。,偶冲激对II(x)和奇冲激对II(x),偶冲激对和奇冲激对的定义如下：,冲激对的重要性源于它们与正余弦函数的变换关系：,偶冲激对II(x)和奇冲激对II(x),当偶冲激对II(x)和函数f(x)相卷积时，会表现出复制性。,如果f(x)的有限差分定义为,那么于是，有限差分算子也可以表示为：,冲激符号的导数,一个函数在原点左侧趋向于+，在原点右侧趋向于-，而当|x|0时值为0。为了涵盖这些条件我们希望将其表示成（0）=0。,导数筛选特性可由下式得出,其他性质如下：,零函数,零函数主要是指傅里叶变换为0，而并非其本身恒为零的函数。按照定义，如果：,则f(x)为零函数。,(其中a,b为任意区间）。,如果两个函数f(x)和g(x)具有相同的变换形式，则f(x)-g(x)是一个零函数。,基本定理,一些用于说明的变换,下面列出6个可供参考的变换对：,则f(x)为零函数。,(其中a,b为任意区间）。,如果两个函数f(x)和g(x)具有相同的变换形式，则f(x)-g(x)是一个零函数。,一些用于说明的变换,当a趋近于0的时候，式子左边代表一个(x)的一个定义序列。式子左边在极限情况下是1的傅里叶变换，其结论是：1是(s)在极限情况下的傅里叶变换。,一些用于说明的变换,据此是在极限情况下的傅里叶变换。,在极限情况下的傅里叶变换是：,一些用于说明的变换,在极限情况下的傅里叶变换是：,把以上的例子总结一下：,相似性定理,如果f(x)的傅里叶变换是F(s),则f(ax)的傅里叶变换是|a|-1F(s/a).推导如下：,这个定理表明时间域尺度的压缩对应于频率域尺度的扩展。但是当变换对中的一个函数在水平方向上扩展时，另一个函数不但在水平方向上压缩，而且会在垂直方向上增长，以保持函数曲线下方的面积不变。因此当函数扩展或压缩时，它在垂直方向上会压缩或增长以作补偿。（如此函数平方的积分将保持不变。）,加性定理,如果f(x)和g(x)的傅里叶变换分别是F(s)和G(s)，则相应的f(x)+g(x)的傅里叶变换是F(s)+G(s)。推导如下：,上述定理说明傅里叶变换适合处理线性问题。它的一个推论是：af(x)的傅里叶变换是aF(s)，其中a是一个常数。,移位定理,如果f(x)的傅里叶变换是F(s)，则f(x-a)的傅里叶变换是,如果一个给定函数向正方向移动一个量a，它的傅里叶变换幅度不会变化。因此可以预料傅里叶变换的变化将局限于相位的变换。根据这一个定理，每一分量在相位上的延迟与s值成正比，即频率越高，相位角变换越大。,推导：,调制定理,如果f(x)的傅里叶变换为F(s),则f(x)cosx的傅里叶变换是：,推导：,调制定理,新的变换会被看作F(s)和的卷积。,卷积定理,如果f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(s)和G(s)，那么f(x)*g(x)的傅里叶变换是F(s)G(s)，也就是说，两个函数卷积的变换等于它们变换的乘积。,推导：,卷积定理,卷积的变换是变换的乘积；乘积的变换是变换的卷积；两个函数的卷积是它们变换的乘积的变换；两个函数的乘积是它们的变换的卷积的变换。,瑞利定理,一个函数模的平方的积分等于它的频谱模的平方的积分。,功率定理,自相关定理,如果f(x)的傅里叶变换是F(s)，那么它的自相关函数的傅里叶变换是,自相关定理在通信中常见的形式是，信号的自相关函数是它的功率谱的傅里叶变换。,微分定理,如果f(x)的傅里叶变换是F(s)，那么的傅里叶变换是,卷积的微分,微分定理与卷积定理共同作用的情况下，如果,那么,求解变换,闭式积分,数值傅里叶变换,对于多里变量x，数据以离散的形式给出。间隔x可能会非常精确以至于不需插入中间值，但是不管怎样我们可以认为数据很少包含周期2x的傅里叶分量的有效信息，因此没有必要计算频率高于（2x）-1时傅里叶变换的值。,另外，观察所得的数据是对有限范围内的x给出的，我们假设范围为-XxS0时为零。显然它是一个带限函数。在这种情况下，傅里叶积分量被限制在以s的原点为中心的频带内。这个函数其实代表了一大类用有限频率的设备所观察到的物理分布。我们称这种变换为“截止变换”，并说它们在超过“截止频率”s0后被截断。,采样定理,一般情况下，截止变换都具有II(s/2s0)G(s)的形式，其中G(s)是任意的，因此具有截止变换的函数的一般形式为,其中g(x)是任意的。,当然，如果原函数是截至的，那么它就不是带限函数，而其变换是带限的。,带限函数的特殊性质：它们可以被间隔不大于1/2S0-1的等间隔采样值完全描述。,采样定理,采样定理,考虑到上图中的函数，我们只保留了x等于采样间隔的整数倍处的f(x)信息，而丢失其中间值。因此如果可以从f(x)III(x/)重构出f(x)，那么采样定理得证。,III(x/)的傅里叶变换为III(s)，它是间隔为-1的单位冲激串。因此有：,我们可以看出原函数乘以III(x/)相当于把频谱F(s)以间隔-1进行周期延拓。如果我们可以恢复F(s)，那么我们就可以重构函数f(x)。可以将III(s)乘以II(s/2s0)就行了。除了在s=s0处存在奇异行为外，这就足以证明采样定理。,采样定理,同时，临界采用条件也很明显，因为如果重复的频谱发生混叠，我们就无法恢复f(x)。在各重复频谱的间隔-1小于2S0时就会发生这种情况。所以采样间隔不能超过1/2S0-1。在临界采样时，各个重复的频谱刚好接触在一起。,内插,从采样点计算中间值的数值计算过程当然不依赖于傅里叶变换。因为恢复的过程是对变换乘以II(s/2s0),在函数时域的等效操作是与2scsinc2scx进行卷积，这样就可以III(x/)f(x)直接恢复出f(x)。和一个由冲激串组成的函数卷积在数值计算上很有吸引力，因为卷积积分实际上变成求和(序列积)。,频域矩形滤波,假设我们要去掉一个函数超过某个频率值得频谱分量，也即给傅里叶变换乘以矩形函数，我们把它写为II(s)。假设S0=1/2也即临界采样间隔为1。计算滤波值时的卷积积分不能完全简化为求和。但是，在数值计算时它必须用求和进行逼近，,那么我们会问，表格间隔可以粗略到什么程度仍然能够充分逼近所要计算的积分：,频域矩形滤波,从=1开始，我们发现1=f(x)，即基本就没有进行滤波。现在尝试=1/2，我们有,所以1/2包含了中心部分F(s)II(s)和一些较远的部分。在许多应用中，这样简单的方法就已经足够了。,用滑动平均进行平滑,函数f(x)与宽度为W的矩形函数卷积导致它的傅里叶变换通过一个低通滤波器。然而这个滤波器与上面讨论的锐截止滤波的情况大相径庭。我们知道和WII(x/W)进行卷积对应传输函数是F(s)=sincWs，它具有等效宽度1/W的带通宽度。,欠采样,假设f(x)以一定的间隔(与所期望的矩形滤波截止频率相应的间隔)进行采样。那么这些采样值确定了一个带限信号g(x),它有一个所期望范围的截止频谱，而且乍一看似乎是和一个矩形滤波器的乘积得到的。但是这一过程与矩形滤波并不相同，因为结果和f(x)中的高频分量有关。例如，某个采样值可能会落在一个狭窄的尖峰上，更进一步讲，粗糙的采样点的相位将会对结果造成明显的影响。不过这种效果通常可以认为是对举行滤波较好的近似。,欠采样,幅度和斜率采样,交错采样,存在噪声的采样,傅里叶级数,与真实的物理模型有点关系,令f(x)为具有普通傅里叶变换F(s)的一个函数，然后与复制符号卷积得到周期函数p(x)，定义为：,p(x)的周期为1，对于p(x)没有普通的傅里叶变换，因为不收敛。因此我们对p(x)乘一个因子(x),使得x的绝对值较大的时候，它衰减到0.这就使得严格的周期函数变得物理上可实现的。令：,(x)的傅里叶变换为：,函数(x)p(x)的傅里叶变换为：,用shah符号来表示，即为：,现在令,收敛因子作用于周期函数p(x),使得它的无穷积分收敛，而对做卷积去除了谱线P(s)上的无穷间断点。,取f(x)为一个周期段g(x)II(x),我们看到一个周期函数的频谱是一组冲激，冲激的强度是F(s)的等间隔采样，F(s)是一个周期函数的傅里叶变换。有,Gibbs现象,在对周期现象进行分析以确定傅里叶级数系数的情况中，有一个实际而重要的问题是需要知道应该保留多少项。要考虑与要表达的周期函数中的断点或锐变有关的过冲现象。,通过忽略掉超过某个有限频率的项，相当于让周期函数p(x)通过一个低通滤波器。这样，如果基频是s0，且保留到最高频率ns0，这就仿佛给频谱乘了一个矩形函数II(s/2Sc),其中Sc是介于ns0和(n+1)s0之间的截止频率。为了方便可以取为(n+1/2)s0。在频率谱上乘以II(s/(2n+1)s0),相当于周期函数p(x)与（2n+1）s0sinc（(2n+1)s0 x）进行卷积。因此，当级数的求和上线频率为ns0，和就成为：,卷积函数具有单位面积，故在p(x)缓慢变化时，结果与p(x)保持相当一致。,Gibbs现象实例,现在我们希望研究在间断点上发生的情况，因此我们选择一个在x=0的两边适当的距离内等于sgnx的周期函数。因为我们把注意力集中在x=0附近发生了什么情况，所以在这个范围以外的函数形状并不重要，只要它是周期的。在x=0附近，结果近似为：,下图b为区域A的放大。,Gibbs现象实例,我们知道：,这个函数对x大的负值在-1附近震荡，随着x接近原点，震荡幅度增加，在x=0处通过零点，上冲到最大值1.18，然后变为在+1附近的衰减振荡。如果我们改变sinc的尺度因子，用因子N=(2n+1)s0对其进行压缩，并且使其强度增加一个因子N，以至它的单位面积保持不变，那么与sgnx卷积将使在-1和+1附近的震荡速度加快而震荡幅度不变。这等于不连续量的9%的过冲仍保持在9%，但在更接近断点的地方达到最大值。在负半边发生的最小值情况与此相同。,有限区间的傅里叶变换,傅里叶系数,我们知道，有限区间变换可以用一个略有不同的函数II(x)p(x)的标准变换表示如下：,如果我们考虑单位周期函数p(x)的傅里叶级数系数an和bn的通用公式，即：,这样，我们处理变换的方法就可以自由地应用于傅里叶级数系数的确定。,傅里叶系数实例,一个周期的窄三角窗脉冲串：,借助shah符号来表示，这个脉冲串可以表示为如下形式：,它的傅里叶变换为：,傅里叶系数实例,表达式中的来自于,一般情况下，一个函数有任意的周期T，其变换说明傅里叶级数的系数可以通过读取不同间隔s=T-1处的F(s)来获得。,周期冲激串,x的周期函数的傅里叶变换是一串等间隔的冲激。如果一个周期函数本身是由等间隔的冲激所构成，或者如果一个冲激串本身是周期的：从原函数f(x),通过与III(x)的卷积生成一个具有单位周期的周期函数p(x)。因为p(x)具有单位周期，它的的变换为P（s），由单位间隔的冲激组成。现在，通过乘以间隔为X的单位强度的冲激串对p（x）进行采样，其中间隔X小于1，得到一个周期冲击串,这样，对x的周期函数均匀采样得到一个类似于采样函数的均匀复制的结构。因此可以用两种方法表示：,离散的傅里叶变换和FFT,离散问题经常与周期函数联系在一起。一个周期函数可以用离散间隔上的一系列数来描述。那么变换可以被看作是一串等间隔的函数，其强度由系数给定。,我们考虑一个信号，一般地，如果采样间隔为T，第一个采样点在t=t0，那么,由定义，f()的离散傅里叶变换F(v)由下式给出：,正如周期函数的傅里叶级数展开中的首项系数a0等于函数值的平均一样，离散傅里叶变换的首值F(0)等于f()的值的平均N-1f()。定义式中的因子N-1是为了遵循先前的惯例。与正式的定义不同，在实际的计算中，将因子N-1与后来的归一化因子或作图的尺度因子相结合，比过早对F(v)的每个元素乘以N-1更有效。,v/N的值类似于用煤采样间隔的周期数度量的频率，符号的对应可以总结如下：,在离散的情况下选择符号v而不是f，是为了强调频率整数v和频率有关但是和频率f是不一样的。例如:如果采样时间间隔是1s且有8个采样点(N=8),那么将在v=8f处频率分量f，相反的，频率整数v=1表示频率是1/8Hz。,给定离散变换F(v),我们可以在下面的逆变换关系的帮助下恢复出时间序列f(),即,为了说明这一点，我们首先验证下面的事实：,为了建立离散逆变换，为了方便起见我们引入哑元变量得：,逆变换定义的不同之处在于其指数上的符号是正的而且前面没有因子N-1。,为了说明这一点，我们首先验证下面的事实：,为了建立离散逆变换，为了方便起见我们引入哑元变量得：,从逆变换中我们可以看到，正如离散时间一样，频率整数v也只需要N个整数值且范围从0-N-1。N个测量值在变换后仍能用N个参数来表示，这听起来当然是合理的。即使，f的值是实的，F的值一般也是复的。,离散傅里叶变换的性质,互易性质,为了使v为整数，我们在离散傅里叶变换中引入了尺度因子N，使得离散傅里叶变换也不是严格互易的。,如果我们连续应用两次DFT变换而不改变i的符号，则,复共轭,反转特性,假如的符号改变，也就是说f()沿直线=0反折，那么v的符号将该变,值得注意的是，当f()沿直线=1/2反折时，也能得到相同的结果。,叠加定理,移位定理,反转特性,假如的符号改变，也就是说f()沿直线=0反折，那么v的符号将该变,值得注意的是，当f()沿直线=1/2反折时，也能得到相同的结果。,叠加定理,卷积定理,两个序列f1()和f2()的圆周卷积定义为：,乘积定理,f2()应该理解为其周期延拓。为了强调离散求和与连续卷积积分之间的区别，对离散卷积我们使用术语卷积和,互相关,自相关,序列和,首值,广义Parseval-Rayleigh定理,填补定理,填补算子Packk向一给定的N元序列f()尾部填零，使序列的元素个数增加到KN。,相似性定理,为了得到类似于连续时间中的尺度的扩展和压缩，我们必须给序列补充足够的零元素，要么在序列尾部补零，以便能够扩展序列，要么在元素之间插零，以便使序列能有压缩的空间。在元素之间插入零的操作使序列元素的总个数乘了个因子K，我们用展宽算子StretchK表示它。,相似定理是，如果g的傅里叶变换是G,如此，在域内展宽K倍将导致v域内F(v)的K倍重复；频率的尺度没有被K压缩。,用一个可以对长度N为64，128，或2的其他整数幂的序列进行操作的通用程序，对一个长度为60的序列进行FFT。给序列填加4个零可以使它满足程序。但是，把零填加到序列的后面，前面，或者两个加在前面两个加在后面，所得的结果是否会有区别？由下图再想到移位定理，我们知道|F(v)|将不受影响，但原点的有效位移将会引入相位变化。如果相位很重要，就像它应该是的那样，如果数据序列本来就由各自然的零点，那么我位移定理将能提供一个适当的相位修正因子。,实际考虑,如果我们在尾部填68个零，并且使用N=128的程序，结果会不同。为了理解这一点，考虑延拓的意义，其中f()和F(v)被看做是周期的且周期为N。设v(t)是连续变量t的函数，它在0N-1的t的整数值上，与f()一致，在此之外为0。如图所示v(t)III(t)是一串冲激，它和f()包含相同的信息，但是不具有周期为N的重复特性。然而周期特性可以用下式表示，即它和f()严格一致。如果我们把横坐标标为t，箭头标为圆点的话，图d将是f()的精确表达。,实际考虑,如果v(t)的傅里叶变换为S(f)，我们利用卷积定理和shah函数III()的变换是它本身的特性，可以得到假如f和v之间的关系为f=v/N,那么上面的表达式就对应于DFTF(v),f()对应于p(t)。如果将v(t)III(t)进行周期为2N的延拓，我们将得到它的傅里叶变换为：与上面不同的是这相当于对S(f)*III(f)进行了比上面高一倍的采样。提高采样频率导致两者差异的原因是S(f)可能是振荡的，而且通常的确是这样的，除非序列f()没有那些经常出现在数据串的开始和结尾部分的大的跳跃。当然由于f()的周期性，如果终值f(N-1)近似等于初值f(0)的话，一个大的初值f(0)将不被看做一个大的跳跃。但是如果一个64元的数据序列，通过在尾部补0延拓到128个元素，那么这就是跳跃，F(v)中会出现不光滑的结构，同样的，如果把相对平滑的64元数据序列中的4个连续元素置0，F(v)中将会出现振荡。这说明通过对数据序列补零将其扩充到64个元素并不一定总是最好的方法。通过补充比零更合理的哑元数据，可以得到与期望的结果更加一致的结果。,实际考虑,离散傅里叶变换正确吗？-信号的混叠,当计算傅里叶变换时，DFT理论是准确的，独立自主的，它确切描述了对实际数据样本的操作，剩下的问题是依赖于数据采样点的DFT在多大程度上近似于函数的傅里叶变换呢？很明显，DFT只能是一个近似值，因为它仅提供了一组有限的离散频率点的值。但是这些离散值本身正确吗？我们可以很容易举出它们是不正确的简单例子。这个问题的讨论是基于采样定理和混叠现象的。如果初始的采样间隔不是足够小，以至不足以表示原函数中的高频分量，那么DFT的值和通过它们的光华曲线都会因混叠而发生错误。如果原函数是已知的，那么与一个给定的采样间隔相关的误差是可以计算的。从实际操作来看，我们往往只知道采样序列，那么误差的避免只能依赖一些经验因素，及经验。例如在同样的时间内采样两倍的点就能确定是否存在高频分量。,DFT中的另一个重要的误差源是数据串的截断。当然，对函数的截断处理不可避免地导致了一个不正确的傅里叶变换（所得结果是正确傅里叶变换和某个sinc函数的卷积)，因此截断误差并不是DFT所具有的。然而所犯的错误是不同的。为了说明这一点，假设采样间隔选得足够精细使得它能处理数据中的高频分量而且没有混叠误差。现在对数据进行截断处理。对DFT的影响是把它和一个sinc函数的采样进行卷积，与这个sinc函数对应的矩形函数的宽度描述了对信号的截断。,离散傅里叶变换正确吗？-数据串的截断造成频谱泄露,离散傅里叶变换正确吗？-数据串的截断造成频谱泄露,卷积的结果是造成频谱的“扩散”（拖尾，变宽），这就是所谓的频谱泄露。减小泄露的方法：1、取更长的数据，也就是窗宽加宽，当然数据太长必然使得运算量和储存量都增加；2、数据不用突然截断，也就是不要加矩形窗，而是要缓慢截断，即为加各种缓变的窗（如三角窗等），使得窗谱的旁半更小，卷积后造成的泄露更小。,离散傅里叶变换正确吗？-栅栏效应,因为DFT计算的频谱只限制在离散点上的频谱，也就是限制为基频整数倍处，的谱，而不是连续频率的函数，这就像通过栅栏观看景色一样，只能在离散的点上看到真实的景象，把这种现象称为栅栏效应。减小栅栏效应的办法：使频域抽样更密，即增加频域抽样的点数N，在不改变时域数据点数的情况下，必然是在时域数据末端填加一些零点，使一个周期内的点数增加，但并不改变原来的记录。,功率谱,在许多情况下变换的相位是不重要或者不可知的，此时我们可以研究|F(v)|,但是往往我们是对|F(v)|2进行研究，这其实是等价的，并且我们把|F(v)|2称为功率谱。虽然功率谱不只是应用于随机过程或者来自随机信号源的确定性信号，但是这些应用却是非常重要。随机过程的功率谱常常被定义成随机过程的自协方差函数的傅里叶变换。（自协方差函数是在自相关运算之前除去直流分量后的结果。但是它们在术语上的区别是不易发现的。因为通常的理解是在计算自相关之前要减去非零均值，否则计算是不可能的。）假设我们求一个N元序列的DFT。具体的，设这N个数据是某一点海平面每隔10s的高度。自然地，Fn(v)的值应该表示海浪能量所在的频率段，但是它的精确度和它的分辨率却是有限的，因为数据长度N是有限的。Fn(v)的相位虽然非零，但是几乎不包含我们感兴趣的任何信息，如果把它们丢弃，|Fn(v)|2则形成了我们对海浪功率谱的测量。如果海浪的状态变化的话，正如它经常变化一样，那么这些测量只能作为那个时期的海浪功率谱的记录。但是N的值是有限的，这种测量在一定程度上是不完美的，使得从v的一个值到下一个值的变换呈现无规律性。,功率谱,为了得到一个较好的测量，我们可以将采样数据的长度增加到4倍，但是我们能如何知道这段观察期间还的能量谱没有发生变化呢？仅有的方法是我们将数据分成若干段，然后再作判断。,离散哈特变换,一种严格互易的实变换,给定一个实的波星号V(t)，若下面的积分存在，我们就可以定义积分变换：,为了将()与V(t)的傅里叶变换S()联系起来，我们使用下面傅里叶变换定义比较方便：,一种严格互易的实变换,令其中e()和o()分别为()的奇部和偶部。则,对于给定的()，我们可以构造e()-io()，以获得V(t)的傅里叶变换S()：,这样我们看到仅通过简单的反折与叠加运算，就可以从()容易地变换到V(t)的傅里叶变换。反之，若给定了S()，我们也可以获得(),即将S()的实部减去虚部：,符号与示例,作为一个例子，取则：,下图左边是V(t)，右边是它的傅里叶变换S()，其中虚线表示S()的实部，点线表示S()的虚部。图种虚部的符号已经取反了。实线表示哈特利变换，该变换为S()的实部与虚部符号取反的简单求和。它是实的而且明显是非对称的。反过来，利用()的奇部和偶部可以恢复出复值傅里叶变换S()的实部和虚部。,离散哈特利变换,考虑一个类似于时间的离散变量，但可以假设为仅有从0N-1的N个整数值。给定一个函数f(),我们可以把它看做一个波形信号，定义它的离散哈特利变换(DHT)为：其中作为比较，其离散傅里叶变换F(v)为:f()的逆DHT关系式为,离散哈特利变换,为了从DHT得到DFT，可将DHT分为奇部和偶部。其中那么DFT由下式给出DHT的例子为了与上图比较，考虑f()是对连续函数V(t)的前面部分进行等间隔采样，共采样N=16点。由于V(t)在0时刻不连续，把f()在=0时的取值为V(0+)+V(0-)/2=0.5。下图为f()及其离散哈特利变换H(v),其结果类似于对上图中的变换以间隔/2=1/16进行采样。,离散哈特利变换,两个图的差异较小，部分是由于截断指数波形引起的，部分是由于像DFT一样的混叠造成的。,DHT的卷积运算,DHT服从的卷积定理如下：如果f()是f1()和f2()的卷积，即那么：其中H(v),H1(v)和H2(v)分别为f(),f1()和f2()的离散哈特利变换，且H2(v)=H2e(v)+H2o(v)，即奇部与偶部的和。,傅里叶变换在仪器中的应用,InorderthatthisdiscreteFouriertransformgeneratethetrueF(),itisimportantnotonlythatthetotalnumberofdatapoints,N,belargeenoughbutalsothatthedatabeobtainedatafastenoughrate.Thereasonforthisrequirementontherateofdataacquisitioniseasilyseen:ifwewishtorepresentindigitalformacosinewaveoffrequencyvhertz(=2vradianspersecond),thesamplingtheoremtellusthatwemusttaketwodatapointspercycletospecifytheamplitudeandfrequencyofthewave.Alargernumberofpointspercycleprovidesnoadditionalinformationbutdoesnotinanywaydetractfromtheinformationcontent.Asamplingrateoffewerthantwopointspercycle,however,introducesambiguityandresultsinadistortionofthespectrum.Thus,ifitisknownthatvmaxisthehighestfrequencypresent,theminimumacceptablesamplingrateis2vmaxpointspersecond.,傅里叶变换在红外中的应用,Theefficiencyoftheinterferometricmethodarisesbothfromthemultiplexadvantageofobtainingdataatallfrequenciessimultaneouslyandfromthelargerenergythroughputmadeavailablebyeliminatingthenarrowslitsandsmallaperturesofmonochromator.,ThegreatlyimprovedsensitivitynowpermitsstudyofIRspectraofsamplesassmallas10nanograms.Thespeedofobtainingspectraisbeingexploitedespeciallyinthestudyoftheeffluentfromgaschromatographs,wheretheIRspectraoftheseparatefractionscanbeobtainedinthegasstream.,“observed”signalfromaMichelsoninterferometerasafunctionofmirrordisplacementforanincidentwaveconsistingofthreediscretefrequencies.Thissignalisthesumofthethethreecosinewavesignalsthatwouldarisefromeachfrequencyseparately,asindicated.Forclaritytheindividualcosinewaveshavebeendisplaceddownwardbytwounits.,Thecosinewaveswithwhichareconcerned(thecomponentwavesinupfigure,forexample)arefunctions,notreallyoftime,butofthedistanceofmirrordisplacements.Hencethe“frequencies”withwhichwedealarenottruefrequencies,butwavenumbers(inreciprocalcentimeters).Thecommonlystudiedmid-andfar-infraredregionofthespectrumextendsuptoabout4000cm-1.Ifweensurethatnohigherfrequenciesreachthedetectorbyinterposinganopticalfilterwithasharp,high-frequencycutoff,thenaccordingtothesamplingtheorem,theremustbeaminimumdataacquisitionof8000pointspercentimeterofopticalpath-lengthdifference(16000pointspercentimeterofmirrordisplacementssincetheinfraredbeamtransversesthepathtoandfromthemirror).,SamplingrateinFTIR,ThedistancethemirrormustmoveinFTIR,Acosinewaveoffrequencyor(wavenumber)vandinfiniteinextentleads,onFouriertransformation,toaninfinitelysharplineatv.,FromFouriertheoryitcanbeshownthatthewidthofthelineathalfmaximumintensity(inreciprocalcentimeters)isgivenbythereciprocalofthepath-lengthdifference(thatis,one-halfthereciprocalofthemirrordisplacement).Thusresolutionoftheinterferometercanbemadeasgreatasdesiredbyprovidingsufficientmirrordisplacement.,傅里叶变换在NMR中的应用,WenowinquirehowtheadvantagesoftheFTmethodcanbeutilizedinNMRspectroscopy.AMichelsoninterferometerisoutofthequestionforanumberofreasons;forexample,toobtain1-hertzresolution(3.310-11cm-1)themirrorwouldhavetotravelover150,000kilometers.Butwecanachievethedesiredgoalbyusingwell-knownNMRpulsetechniques.,AnalternativemethodforstudyingNMRconsistsof“gating”thetransmitteronforashortperiodinordertoapplyashort,intensepulseofradio-frequencyenergytothesample.(thisprocedureresultsinabroadband,ratherthanamonochromaticsourceofirradiation.),A.PrecessionofnuclearmagneticmomentsaboutanappliedmagneticfieldH0.TheresultantmacroscopicmagnetizationMisdirectedalongthezaxis.BTippingofMawayfromthezaxisbyinteractionwiththerffieldH1.AcomponentofMnowexistsinthexyplaneandrotatesasMpreccessesaboutH0.,AsMprecesses,itinducesanelectricalsignalinthecoilalongtheyaxis.Themagnitudeofthisso-calledfree-inductionsignaldecreasesexponentiallywithtime.SinceMisreducedbynaturalspin-spinrelaxationprocessesandbytheeffectsofmagneticfieldinhomogeneity.Ifthereferencefrequencyusedt