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文档简介

.,留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。,5.3留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分，变量x定义在闭区间a,b(线段)，此区间应是回路的一部分。实积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分成为回路积分的一部分：,.,1.形如的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数.,令z=eiq,则dz=ieiqdq,而,.,其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,根据留数定理有,其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.,例1计算的值.,解由于0p1,被积函数的分母在0q2p内不为零,因而积分是有意义的.,由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此,.,.,在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.,.,例2计算的值.,解：令,.,例3,解：,.,取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.,.,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.,.,例4,.,例5,解：,.,3.形如的积分,当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的.象2中处理的一样,由于m-n1,故对充分大的|z|有,因此,在半径R充分大的CR上,有,.,也可写为,例6计算的值.,解这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的.在上半平面内有一级极点ai,.,例4计算积分的值.,解因为是偶函数,所以,.,为了使积分路线不通过原点,取如下图所示的路线.由柯西积分定理,有,令x=-t,则有,.,因此,要算出所求积分的值,只需求出极限,下面将证明,由于,所以,.,j(z)在z=0处解析
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