【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章 矢量代数与矢量分析.ppt

第二章矢量代数和矢量分析,在第一章中给出了Euclid矢量空间V。V中的元素是除度量大小的数量外还具有方向的量。这些量被称为矢量（按张量空间的一般叙述，矢量也被称为一阶张量）。这一章主要对具有给定标准正交坐标系o；i1，i2，i3的Euclid矢量空间进行讨论。,2.1矢量集合的运算,设r1，r2，r3是V的一组基底，由（1.3-2）式可知xV可在r1，r2，r3的基底上唯一地线性表示为：,其系数xi(i=1,2,3)称为x在基底r1，r2，r3上的坐标。且记为（x1，x2，x3）。x在r1，r2，r3上的线性表示实质上是x的加法分解表示。即x是矢量x1r1，x2r2，x3r3V的矢量和。由平行四边形法则，x1，x2，x3是由平行性所确定（如图21）。,投影：,对a、bV将b的始点平移至a的始点o；由b的终点作与a矢量线垂直的垂线。且与a矢量交与a点；则a矢量的始点o指向a点的有向线段长度值称为b在a上的投影。,注意：,a矢量的始点o指向a点与a矢量方向相反，其投影值为负。,a矢量的始点o指向a点与a矢量方向一致，其投影值为正。,例1：,解：,给定二维矢量空间矢量x。试求在给定基底r1，r2（非正交）和i1，i2中的坐标和投影。,图23,在r1，r2基底上按平行四边形法则，可确定x的坐标为（x1，x2）。按投影法则可的x在r1，r2上的投影为X1，X2。或形式上记为（X1，X2）。如图23（a）所示。,在i1，i2基底上，因i1i2，所以平行四边形法则所得四边形与投影法则所得四边形重合。显然x的坐标（x1，x2）和x在i1，i2上的投影（X1，X2）形式上相同。如图23（b）所示。,设V的坐标系为o；i1，i2，i3，V中矢量的加法和矢量与数量的标量积按（1.1-3）和（1.1-4）定义，即对x，yV；，F有,（2.1-3）,（2.1-2）,定义x与y的逆矢量（-y）的加法运算为x与y的减法运算（x减y或x与y之差）,在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为：,同时长度为1的矢量称为单位矢量。应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。,例2：,图24所示具有坐标系的矢空间V中矢量a、b。试求2a+1.5b在o；i1，i2中的表示。,解：,例3：,图25,如图25（a）所示给定矢量a、b，根据平行四边形法则用几何作图给出ab矢量的几何表示。,解：,见图25（b）（c）,定义数量积,定义矢量积,定义混合积,其中ij称为Kronecker符号。,其中eijk称为Ricci置换符号。,（2.1-4）,（2.1-5）,（2.1-6）,（2.1-7）,（2.1-8）,Kronecker符号三维矢量空间取值表：,Ricci置换符号三维矢量空间取值表：,（2.1-9）,（2.1-11）,但应当特别注意的是：,（2.1-10）,例4：,若i1，i2，i3是V的标准正交矢量。计算iiij(i,j=1,2,3)。,解：,综合以上各式可得：,（2.1-12）,证明矢量的叉积和混合积有以下结论：,例5：,1,（2.1-13）,2,3,4,（2.1-14）,（2.1-15）,（2.1-16）,证：,1,2,3,4,例6：,证明e恒等式：,证：,由（2.1-12）式有：,ie只有当i=e时为1，其余为零。,由(2.1-16)式：,最后得：,例7：,a、bV。证明：,证：,对三维矢量空间ab的几何表示如图26所示。,2.2仿射（斜角）坐标系,在三维矢量空间V中不存在一组四个线性独立的矢量，但同时V中存在许多组三个线性独立矢量。V中的任意一组三个独立的矢量都可以作为基底。与之相应的可以构造对应的坐标系o；r1，r2，r3。一般情况下r1，r2，r3不是单位长度，且不一定两两正交。V中的坐标系o；r1，r2，r3称为仿射坐标系。当r1，r2，r3均为单位矢量，且两两正交时称为标准正交坐标系。记为o；i1，i2，i3。,从线性相关的概念，三维矢量空间的任意矢量aV都能够在坐标系o；r1，r2，r3中线性表示为：,是a在基底r1，r2，r3上的坐标。,由于r1，r2，r3不在两两正交，因此对x，yV两矢量的点积只能表示为：,而不能象标准正交基底那要表示为：,仿射坐标系的对偶（或到逆）基底：,设r1，r2，r3是V的一组基底，构造如下三个矢量：,（2.2-1）,并称r1，r2，r3是基底r1，r2，r3的对偶（或互逆）基底。同时对任意aV构造：,（2.2-2）,基底r1，r2，r3的对偶基底具有基本性质：,1正交性：,（2.2-3）,2r1，r2，r3线性无关（因此可作为V的基底）：,证：,1,同理可证：,同理可证：,2,r1，r2，r3线性无关,上式化为：,用r1，r2，r3点乘上式两边得：,显然只有当,时：,r1，r2，r3线性无关。,由对偶基底的基本性质2：,是在对偶基底坐标系中的坐标。,特别应当注意的是a在对偶基底上的坐标与式（2.2-2）定义的a1，a2，a3的区别(a1，a2，a3是由投影法则确定)如图（27）所示。,对r1，r2，r3由（2.2-1）：,同理可得r2，r3的对偶基表示。最后得：,（2.2-4）,与（2.2-1）比较可知r1，r2，r3是基底r1，r2，r3的对偶（或互逆）基底(r1，r2，r3和r1，r2，r3互为对偶基底)。,按（2.2-2）式可构造：,（2.2-5）,矢量空间V中互为对偶的基底是一组基底的两种不同的表达形式。对任意矢量aV：,r1，r2，r3是基底上：,r1，r2，r3是基底上：,（a）,（b）,由（2.2-2）和（2.2-1）得：,（c）,将（c）代入（a）得：,（d）,由（2.2-5）和（2.2-4）同样可得：,（e）,（f）,由（d）和（f）式有：,（2.2-6）,Einstein求和约定：仿射坐标系中上标和下标重复且仅重复一次表示从1到3求和。,同是上标或同是下标重复且仅重复一次不表示求和。如：,（2.2-6）式中a1,a2,a3(a1,a2,a3)不是a在r1,r2,r3(r1,r2,r3)中的坐标（平行四边法则）的表示，而是a在r1,r2,r3(r1,r2,r3)基矢量上的投影。且称a1,a2,a3是a的协变分量；a1,a2,a3是a的逆变分量。r1,r2,r3是a的协变基矢量；r1,r2,r3是a的逆变基矢量。,例8：,如图28所示基底r1，r2，r3。其中r3是垂直于r1，r2所在平面的单位矢量。试确定r1，r2，r3的对偶基底；图中矢量a的坐标表示和协变、逆变分量表示。,解：,r1，r2，r3如图所示。由图中还可得：,最后得：,o；i1，i2，i3是V的标准正交坐标系。试求：,例9：,以矢量,为仿射坐标系基矢量的,对偶基底。,在o；r1，r2，r3基底及其对偶基底上求：,的协变和逆变分量表示。,解：,例10：,r1=i2+i3，r2=i3+i1，r3=i1+i2。矢量a=2r1+r2+3r3，b=r13r2+2r3，=3r1+r2r3。试求：,1,2,3,4,解：,或,因此a、b、c又可表示为：,1,2,3,4,在例10中协变基底和逆变基底存在关系,尽管r1，r2，r3和r1，r2，r3是V中两组线性无关的矢量。但它们是V中一组基底的两种不同表示方法。如果在V中给出两组基底r1，r2，r3和e1，e2，e3。那么e1，e2，e3作为V中矢量可以用基底r1，r2，r3表示为：,称为e1在r1，r2，r3仿射坐标系中的坐标。,称为e2在r1，r2，r3仿射坐标系中的坐标。,称为e3在r1，r2，r3仿射坐标系中的坐标。,同样r1，r2，r3作为V中矢量可以用基底e1，e2，e3表示为,（2.2-7）,（2.2-7a）,（2.2-7）和（2.2-7a）称为两组基底r1，r2，r3和e1，e2，e3之间的坐标基底变换。,设r1，r2，r3；e1，e2，e3是V中的两组基底。两组基底之间满足（2.2-7）或（2.2-7a）变换关系。r1，r2，r3；e1，e2，e3是r1，r2，r3；e1，e2，e3的对偶基底。对任意aV有：,（2.2-8）,由,可得：,（2.2-9a）,同理由,还可得：,将（2.2-9b）代入（2.2-9a）得：,利用Einstein求和约定。（2.2-7）（2.2-10）可表示为：,（2.2-9b）,（2.2-10）,（2.2-11）,（2.2-11）式给出了协变基底到协变基底的变换。同样也可得出协变基底到逆变基底；逆变基底到协变基底；逆变基底到逆变基底所对应的变换。,在标准正交坐标系（r1，r2，r3和e1，e2，e3均是标准正交坐标系）中，由于r1=r1，r2=r2，r3=r3，和e1=e1，e2=e2，e3=e3。协变基底与逆变基底相同。同时协变分量与逆变分量相同。这时（2.2-11）到（2.2-14）的表达式均可表达为：,（2.2-12）,（2.2-13）,（2.2-14）,以下给出这三种基底间变换的表达式：,（2.2-15）,例11：,已知r1=i1，r2=i1+i2，r3=i1+i2+i3和e1=i1+i