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一维随机变量函数的分布,设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？,下面进行讨论.,一般来说，随机变量X的函数Y=g(X)仍是一个随机变量。,一、离散型随机变量函数的分布,解：当X取值1，2，5时，Y取对应值5，7，13，,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.,故,如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.,一般，若X是离散型r.v，X的概率函数为,则Y=X2的概率函数为：,二、连续型随机变量函数的分布,解：设Y的分布函数为FY(y)，,FY(y)=PYy=P(2X+8y),=PX=FX(),于是Y的密度函数,故,注意到0x4时，,即8y0时,注意到Y=X20，故当y0时，,解：设Y和X的分布函数分别为和，,若,则Y=X2的概率密度为：,从上述两例中可以看到，在求P(Yy)的过程中，关键的一步是设法从g(X)y中解出X,从而得到与g(X)y等价的X的不等式.,用代替X2y,这样做是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概率.,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.,例4设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当y0时,当y1时,故,解：注意到,=P(0Xarcsiny)+P(-arcsinyX）,解：当0y1时,例4设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当0y1时,解：,=P(0Xarcsiny)+P(-arcsinyX）,而,求导得:,下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度.,其中，,此定理的证明与前面的解题思路类似.,x=h(y)是y=g(x)的反函数,定理设X是一个取值于区间a,b，具有概率密度f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为,下面我们用这个定理来解一个例题.,例5设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在区间(0,1)上,函数lnx0,于是y在区间(0,1)上单调下降，有反函数,由前述定理得,注意取绝对值,已知X在(0,1)上服从均匀分布，,代入的表达式中,得,即Y服从参数为1/2的指数分布.,对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件g(X)y转化为X在一定范
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