工程电磁场数值分析3(数学基础).ppt

工程电磁场数值分析（数值法的数学基础）,华中科技大学电机与控制工程系陈德智2010.12,第3章数值法的数学基础加权余量法,函数空间基函数权函数加权余量法变分法简介,1.函数空间,关于函数空间的几个概念粗浅的解释n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有限自由度系统过渡到无穷自由度系统，用无限维空间描述。函数是指两个数集之间所建立的一种对应关系。泛函则建立两个任意集合之间的某种对应关系。函数空间：具有某种共同特性的一类函数所构成的集合。不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量。把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子或算符。,2.基函数,若函数空间D中存在一组函数，使得D中任意一个函数都能表示成的线性组合，则称为函数空间D中的一组基（或基底）；称基函数。若n为有限值，称D为有限维函数空间；否则称无限维函数空间。n称为函数空间的维数。,基函数的性质：完备性：足够的线性无关性：没有多余的正交性：彼此不但独立，而且毫无交叠,基函数的例子幂函数（多项式）：有限区域内，任一无限可导的函数可以借助于Taylor公式展开为幂级数形式,三角函数：周期为2p的周期函数可以展开为Fourier级数形式,或,函数逼近：对于函数类A中给定的函数f(x)，要求在另一类较简单的且便于计算或处理的函数类B中寻找一个函数p(x)，使p(x)与f(x)之差在某种度量意义下最小。,逼近的方法：选定一组基底，构造逼近函数设法利用已知条件确定系数。,插值,已知函数若干采样点的逼近(1)插值,若选用多项式基底，构造逼近函数：令p(x)满足：求解方程可以确定系数。,逼近曲线严格通过采样点。方程个数与未知数个数相等；基函数线性无关，保证方程有唯一的解。,拟合,已知函数若干采样点的逼近(2)拟合,若选用多项式基底，构造逼近函数：令p(x)满足：求解方程可以确定系数。,逼近曲线不通过采样点，而使整体误差最小。方程个数多于未知数个数，求得最小二乘解；基函数线性无关。,已知若干采样点的两种逼近:插值与拟合,无法简单的说哪种更好。插值可保证采样点的精确；而拟合对采样误差有更好的鲁棒性。,基函数有多种选择，如三角函数、指数函数。线性无关保证方程有唯一解；完备性保证了逼近的相似程度。“好”基函数的标准：简单，易计算，易解释，个数少。基函数的选择对于逼近的精度和效率至关重要！,整域基与分域基整域基：在整个区域上都有定义的基函数，如三角函数和幂函数。分域基：只在部分区域上有定义（不为0）的基函数，例如分段逼近使用的基函数。也称局域基。,常用的分域基采样函数d(x)线性插值样条函数基小波函数基,极端的分域基d函数,线性逼近和样条逼近,分段线性插值使用的基函数,在区间(xi,xi+1)上，使用直线段p1(x)插值逼近函数f(x)，有,或,定义,那么,扩展一下定义:,那么在整个区间上，有,在上述逼近公式中，各基函数的系数刚好为被逼近函数在插值点的函数值，这样的基函数称为插值的基函数。,整域基的优缺点：优点：全局有统一的表达式，能反映函数的全局变化规律及对参数的依赖关系；便于整体处理；逼近函数全局光滑可导；更适合光滑函数的逼近。缺点：全局关联，牵一发动全身，不方便；求解矩阵为满阵，计算量大；龙格现象；对基函数的要求严格分域基的优缺点：优点：局部关联，灵活方便；计算量小；没有龙格现象；基函数选择自由度大。更适合不光滑函数的逼近。缺点：没有全局统一表达式；函数必须分段（或分域）处理；函数只在局部光滑可导。,自己构造基函数的应用实例回旋加速器主磁铁修正,权的概念,3.权函数（weightfunction）,加权求积,内积,正交,带权正交,范数,4.加权余数法（weightedresidualmethod）,基本思想：考虑算子方程用作为该方程的近似解（试探解）：代入方程的误差（余量）：,如果余量R0，则为精确解。加权余量法的任务是设法使R为0或者尽量小。方法是选择另一套基底为权函数，使得,加权余数法,如果上式对所有的i都成立，并且和都是线性无关的和完备的，那么就保证余量R为0，从而就是原算子方程的解。,如果和不是完备的，那么余量R只能近似为0，从而得到原算子方程的近似解。,剩下的问题就是确定系数。可以看到和的线性无关性对于唯一地确定系数是必要的。,设L为线性算子，代入，得,或,对于确定的权函数与基函数，积分是确定的，因此只有系数是未知量，上式成为一个代数方程：,记,加权余量法是通过余量与权函数的正交化过程，把一个算子方程（微分方程或积分方程）转化为一个可以利用计算机求解的线性代数方程组。在此过程中，对权函数与基函数的选择没有任何的限制，未知数也可以表达非常不同的含义，从而留下了任人发挥的广阔空间，使它成为各种数值方法的公共基础。,或者写为,加权余数法,伽辽金（Galerkin）加权余数法在加权余数法中，取权函数等于基函数，即为著名的Galerkin法。Galerkin法具有精度高、适应性强、便于实施等优点。它与分域基的思想联合，即成为有限元法的基础。,5.变分法简介,泛函极值问题的提法：铅垂平面上，一小球在重力作用下从A点下滑至B点，求所需时间最短的运动轨迹。,微元弧长：即时速度：时间微元：总时间：,求使T最小的函数y=y(x)，即变分问题：,设，代入泛函得欲使F取极小值，需整理得,5.变分法简介,变分原理：设L为对称正定算子，算子方程存在解，其充分必要条件为泛函在处取极小值。,上述方程与基于Galerkin加权余量法得到得方程是一致的。这种基于变分原理的解题方法称为变分法或里兹（Ritz）法。,变分法的核心在于把一个微分方程转化为等价的变分问题（泛函极值问题）。对于正定对称算子，等价变分问题是存在的，但是有些问题无法找到等价变分问题，因而应用收到限制。,5.变分法简介,泛函的物理含义：以静电场Laplace方程为例，由格林定理，泛函它表示电场的势能。因此泛函极值问题表达了电场的分布要符合这样的一种原则：整个电场的势能达到最小。这称为静电场的Thomson原理，与光学中的Ferma原理、粒子动力学的Hamilton原理齐名。,5.变分法简介,作业：,利用Galerkin法求解常微