复变函数四版余家荣PPT课件

.,1,第二章复函数,1.解析函数,1.极限与连续性,单值函数：,对于G中的每个z，有唯一的w与其对应。,多值函数：,至少存在一个z0属于G，与z0对应的w有,两个或两个以上。,.,2,.,3,.,4,复变函数极限的定义,.,5,当,时，,当,时，,当,时，,.,6,设,则,当且仅当,证明,如果,则,使得当,时，,命题,.,7,所以,反之，若,则,当,时，,所以,当,时,.,8,连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数,连续函数的复合函数为连续函数,.,9,例,.,10,argz0,.,11,.,12,2.导数解析函数,定义,.,13,定义,在区域内解析,在一点解析,.,14,在闭区域上解析,如果一个函数在一个点可导，则它在这个点连续.,证明,设f(z)在点a可导，则,.,15,注解1“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；注解2解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解3函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注解4闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；,.,16,四则运算法则,.,17,复合函数求导法则,.,18,注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。,反函数求导法则,.,19,证明,因为,所以,Cauchy-Riemann方程,问题,.,20,设,可微，,则,首先设h为实数，,得,令,得,再令,t为实数，,得,.,21,令,得,由,得,Cauchy-Riemann方程,.,22,.,23,例,在,处满足上述定理中的条件，但f(z)在,不可微.,证明,.,24,C-R条件,证明,设,在点,处有导数,其中a和b为实数，,当,时，,.,25,.,26,其中,满足条件,.,27,.,28,注：,.,29,.,30,.,31,.,32,.,33,.,34,.,35,2.初等函数,实指数函数的性质,1.指数函数,.,36,指数函数的定义域的扩充,由于要求解析，所以利用柯西-黎曼条件，有,.,37,所以，,因此，,定义,称作复指数函数，,记作,.,38,复指数函数的性质：,.,39,注：,Euler公式,.,40,问题：,.,41,指数函数的几何性态,.,42,.,43,三角函数,由于Euler公式，对任何实数y，我们有：,所以有,定义,.,44,三角函数的性质,（2）cosz是偶函数，sinz是奇函数,证明,.,45,（3）cosz和sinz是以2为周期的周期函数:,证明,.,46,证明,.,47,证明,.,48,.,49,.,50,.,51,.,52,定义,上述四个函数在各自的定义域内解析，且,定义,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,.,53,初等多值函数,1.幅角函数,单值分支.,连续单值分支.,.,54,上沿,下沿,.,55,思考题：,.,56,定义,设,是一个多值函数，,是,的任,意一个邻域,是,内任一绕,一周的简单闭曲线.,在,上取一点,我们从与,对应的多个值中取出一个与其对应，,设为,让点,从,出发，沿,绕,一周，回到,对应,的值从,连续变化为,如果,则称,为,的一个支点.,.,57,.,58,.,59,对数函数,定义,注意：由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为2的周期函数，所以对数函数必然是多值函数。,.,60,注意：,对数函数的基本性质,注：,.,61,问题：,.,62,对数函数的主值,相应于Argz的主值，我们定义Lnz的主值为：,连续单值分支.,.,63,对数函数的主值支.,.,64,支割线.,.,65,证明,.,66,注：,.,67,.,68,.,69,.,70,.,71,.,72,.,73,.,74,.,75,.,76,对数函数的映射性质,.,77,幂函数,.,78,定义,.,79,.,80,.,81,其中,应当理解为对它求导数的那个分支.,.,82,幂函数的映射性质,.,83,.,84,.,85,.,86,.,87,.,88,.,89,.,90,.,91,.,92,.,93,.,94,.,95,.,96,.,97,反三角函数,.,98,.,99,.,100,.,101,.,102,.