2020年1月东城高三期末

.北京市东城区2020届第一学期末统一检测 高三数学 2020.1本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合，那么 (A) (B) (C) (D) (2)复数z=在复平面内对应的点位于(A) 第一象限 (B) 第二象限(C) 第三象限 (D) 第四象限(3)下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为(A) (B) (C) (D) (4)设为实数，则“”是“”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(5)设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 (A) 若，则 (B) 若，则(C) 若，则 (D) 若，则 (6)从数字中，取出个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为(A) (B) (C) (D) (7)设是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A) 若，则 (B) 若，则 (C) 若，则 (D) 若，则(8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；若球心距，球的半径为，则所得椭圆的焦距为；当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是(A) (B) (C) (D) 第二部分（非选择题 共110分）2、 填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9) 若双曲线与有相同的焦点，则实数 . (10) 已知是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，则公比_，_(11) 能说明“直线与圆有两个不同的交点”是真命题的一个的值为 . (12) 在平行四边形中，已知，则四边形的面积是_ (13) 已知函数.曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则的所有可能值为_. (14) 将初始温度为的物体放在室温恒定为的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第次测量得到 的物体温度记为，已知.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为）. 给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 ；(填写模型对应的序号）； ； . 在上述模型下，设物体温度从上升到所需时间为，从 上升到所需时间为，从上升到所需时间为，那么与的大小关系是 .(用，或号填空）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)（本小题13分）在中，已知（）求的大小；（）若，求的面积.(16)（本小题13分）2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G的时段人数早期体验用户2019年8月至209年12月270人中期跟随用户2020年1月至20121年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).（I）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；（II）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求的分布列和数学期望；（III）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.(17)（本小题14分）如图，在三棱柱中，平面，（）求证：平面；（）求异面直线与所成角的大小；（）点在线段上，且，点在线段上，若 平面，求的值(用含的代数式表示)(18)（本小题13分）已知函数. （）若在时，有极值，求的值； （）在直线上是否存在点，使得过点至少有两条直线与曲线相切？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.(19)（本小题14分）已知椭圆的离心率是（）求椭圆的方程；（）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过作斜率为的直线，交椭圆于两点，直线分别交轴于不同的两点. 如果为锐角，求的取值范围(20)（本小题13分）已知数列，记集合（）对于数列，写出集合；（）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；（III）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为. 若，求的最大值北京市东城区2020届第一学期末统一检测 高三数学参考答案及评分标准 2020.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）C （3）B （4）A （5）B （6）C （7） A （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10）（11） （答案不唯一） （12）（13）或 （14） 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）由正弦定理可得.因为， 所以又因为,所以. .7分（）由正弦定理得, 又因为，所以 . 所以的面积. .13分（16）（共13分）解：（）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即. .3分（II）由题意的所有可能值为0,1,2.记事件为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，事件为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件相互独立，且，所以，所以的分布列为012故的数学期望. 10分（III）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，那么回答一：事件虽然发生概率小，但是发生可能性为，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. 13分（17）（共14分）解：（）在三棱柱中，由于平面，所以平面又平面，所以平面平面，交线为.又因为，所以所以平面因为平面，所以又因为，所以又,所以平面 5分（）由（）知底面，如图建立空间直角坐标系由题意得，所以，所以故异面直线与所成角的大小为 9分（）易知平面的一个法向量为，由，得设，得，则因为平面，所以，即，解得所以 14分（18）（共13分）解：() 因为 ，所以 . 由在时，有极值得 ，解得 . 经检验，时，有极值. 综上，. 4分（）不妨设在直线上存在一点，设过点与相切的直线为，切点为，则切线方程为.又直线过，有，即.设，.所以在区间上单调递增，所以至多有一个解.过点与相切的直线至多有一条.故在直线上不存在点，使得过至少有两条直线与曲线相切. 13分（19）（共14分）解：（）由题意解得.所以椭圆的方程为 4分（）由已知直线的斜率不为0.设直线方程为.直线与椭圆的交点为.由得.由已知，判别式恒成立，且直线的方程为，令，则.同理可得.所以 .将代入并化简，得.依题意，我锐角，所以，即.解得或.综上，直线斜率的取值范围是. .14分（20）（共13分）解：（）. 3分（）假设存在，使得，则有， 由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同.又因为， 所以必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾. 故不存在，使得成立. 8分（）首先证明时，对