课题二(新) (中职高等数学教材配套).ppt

数学及应用(第二版),课题二三角函数,会正确运用角的概念.,图2-1是用扳手拧螺母的示意图：其中图b中的扳手逆时针旋转（旋松）了30；图c中的扳手顺时针旋转（旋紧）了30；图d的扳手逆时针旋转（旋松）了一圈又30；而图a中的扳手未做旋转.扳手的起始位置和终了位置构成一个角，我们如何来描述这些角的大小呢？,图2-1,根据初中学过的角的知识，图2-1b、c、d中的扳手所构成的角都是30，这显然没有反映实际的工作情况（事实上这三个角是不一样的）.这就是说，利用初中学过的角的概念无法对扳手旋转的角度进行确切地描述，这就需要把角的概念进行推广.,一、任意角的概念,在平面内，一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角.其中，射线的起始位置叫做角的始边,射线的终了位置叫做角的终边，射线的顶点叫做角的顶点.并规定,按逆时针方向旋转所成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.当旋转量为零时叫做零角，零角的始边与终边重合.角的概念经过这样推广以后，包括任意大小的正角、负角和零角，它们统称为任意角.有了任意角的概念,描述“任务提出”中扳手旋转所成的角的大小就容易了.,不难看出,图2-1a、b、c、d中的扳手旋转所成的角分别是0、30、-30和390.二、象限角与终边相同的角为了研究问题的方便，今后我们主要在直角坐标系内研究角.我们置角的顶点于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，那么角的终边落在第几象限就称这个角是第几象限角.如图2-2中的30角是第一象限角，-120角是第三象限角.是第一象限角时，记作，读作属于第一象限，以此类推.如果角的终边落在坐标轴上，就称这个角为坐标轴上的角.,终边落在同一条射线上的角称为终边相同的角如30与390就是终边相同的角.容易发现，与30角终边相同的角有无穷多个，它们的大小相差360的整数倍，可表示为：（k为整数）.如图2-3所示.,图2-2图2-3,30=30+0（这里k=0）390=30+360（这里k=1），-330=30-360（这里k=-1）.,一般地，所有与角终边相同的角（包括角在内）可以表示为：+k360(k为整数).,例1如图2-4所示，从动轮有48个齿，主动轮有32个齿，当主动轮旋转一周，从动轮上一点B转到B的位置，求B点绕O点旋转的角度？,解：当主动轮逆时针旋转一周（360）时，从动轮顺时针旋转的周数为：=所以，B点绕O点旋转所形成的角为：360=-240,例2把下列各角写成+k360（0360，k为整数）的形式，并判定它们分别是第几象限角：（1）199012；（2）-1998,解：（1）因为199012=19012+5360，所以19012是与199012终边相同的角.因为19012，所以199012.（2）因为-1998=162-6360，所以162是与-1998终边相同的角.因为162，所以-1998.,例3分别表示出第一、三象限角.解：（1）因为在0360范围第一象限角可表示为090，所以第一象限角可表示为k36090+k360(k为整数).（2）因为在0360范围第三象限角可表示为180270，所以第三象限角可表示为180+k360270+k360(k为整数).,1.回答下列问题：锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就钝角、直角回答这两个问题.2.时间经过3h，时针、分针各转了多少度？3.在平面直角坐标系中作出下列各角，并指出它们分别是第几象限角.（1）405；（2）-150；（3）-630.4.把下列各角写成+k360（0360，k为整数）的形式，并指出它们分别是第几象限角.,（1）1500；（2）-5832；（3)-192424.5.分别写出与下列各角终边相同的角：（1）75；（2）-30；（3）-150.,能够正确理解和掌握弧度制的概念，能够熟练地进行弧度和角度的转化，能够运用弧度公式计算弧长和扇形的面积.,如图所示，田径运动场的弯道为圆弧.经测量知道，其中道宽为1.15，内弧半径为32，弧长为83.73，试求这段跑道的中心角的大小、外弧长及面积,初中我们学过，弧长公式，由此可得圆心角，容易看出，圆心角的大小是由决定的.因此我们可用比值来度量圆心角的大小，这种度量角的制度就是弧度制.有了弧度制的概念，使得弧长和面积的计算大大的简化，并且使得角度也能直接进行十进制加减计算了.,一、弧度制的概念,定义长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小称为弧度.记作rad，读作1弧度.如图2-6所示，设圆的半径为r，若弧=r,则AOB=1rad,弧=2r,则AOC=2rad,若弧=r,则AOD=rad我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.于是，任意角的弧度数和弧长,半径r的关系为：=r该公式称为弧长公式.,二、度与弧度的换算角度制和弧度制是度量角的两种不同方法，在数学和工程技术中都被广泛采用，用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）；用角度制和弧度制来度量任意非零角，单位不同，数量也不同.下面研究它们之间的换算关系.因为周角的弧度数是=2.而在角度制下周角的度数360，所以360=2rad,则180=rad，由此可得：,1=rad0.01745rad1rad=（）57.30=5718一般地，我们只须根据180=rad就可以进行弧度与角度的换算了例1把下列各角的度数化为弧度数：（1）2230；（2）15.6.解：（1）2230=22.5=rad=rad；,（2）15.60.01745rad15.60.272rad.例2把下列各角的弧度数化为度数：（1）rad；（2）1.3826rad（精确到1）.解：（1）rad=210；（2）1.3826rad57181.38267913.,度数与弧度数的对应关系，除用上述公式进行换算外，还可以使用计算器进行换算。对于一些常用的特殊角的度数与弧度数的对应关系，列表如下：,在弧度制下，与角终边相同的角可表示为：+k2（k为整数）.今后用弧度制表示角时，“弧度”或“rad”通常省去不写，而只写该角所对应的弧度数.例如，=1就表示是1rad的角,sin就表示rad的角的正弦,即sin=sin=.角的概念推广后，在弧度制下，角与实数之间建立起一一对应的关系：每一个角都有一个唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有一个唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.,三、用弧度制表示的扇形面积公式,例3.如图2-7所示，在车床上加工工件时，工件圆周上任意一个质点均做匀速圆周运动.设圆的半径12cm，质点在1s内由P点运动到点，所经过的弧长为120cm，求质点运动的角速度.解：设质点所经过的角为rad，则=10rad.因为，质点运动的角速度，所以，所求角速度,会利用三角函数定义及同角三角函数关系式求任意角的三角函数值,如图2-8所示，半径为r的飞轮，绕O点匀速转动，当飞轮转过390时，其上一点P转到的位置，求其水平坐标x和垂直坐标y.,图2-8,如果我们能够建立x、y和r、的关系式，我们就可以用r、求出x、y.实际上，在00.则：,图2-10,根据任意角的三角函数的定义可知，任意角的三角函数值，仅与其终边的位置有关，因此终边相同的角的三角函数值相等即:,二、三角函数的符号根据三角函数的定义，以及各象限内点的坐标符号，可以确定三角函数值在各象限的符号，如图2-11所示.这里的规律可概括为：全正，正弦，正切，余弦即在第一象限三角函数全为正值；在第二象限正弦为正值，其他为负值；在第三象限正切为正值，其他为负值；在第四象限余弦为正值，其他为负值.,三、同角的三角函数的基本关系式,例3求“任务提出”中的坐标x、y.,例4如图2-12所示，已知角终边上一点P（4，-3），求角的三角函数值.,会利用诱导公式求任意角的三角函数，或根据三角函数值求出相应的角.,上一节我们根据三角函数的定义，用图解的方法求出了任意角的三角函数值，能不能直接用代数的方法求得任意角的三角函数呢？例如求sin(-30)的值.再比如，知道sin=-，能不能求出呢？,我们知道,sin30=,-30角的终边与30角的终边关于x轴对称，sin（-30）与sin30的值是否存在某种关系呢？是否能通过30角的三角函数值求出-30角的三角函数值呢？,一、诱导公式1-与的三角函数关系如图2-13所示，过任意角上一点（x，y）作x轴的垂线交-的终边于，交x轴于M，由于-的终边与角的终边关于x轴对称，所以点与关于x轴对称，因此，点坐标是（x，-y），OP1=OP2=r.由三角函数的定义得：sin=，cos=，tan=；sin（-）=，cos（-）=，tan（-）=.,公式一,图213,二、已知三角函数值求角已知角可以求出其三角函数值，反之，已知三角函数值，也可以求出其对应的角.例3求“任务提出”中sin=-时的角解：因为sin=-0，所以或，当时,=2k-(k为整数）.当时,=2k-(k为整数）.所以所求的角为2k-或2k-.,会利用正弦定理解斜三角形.,如图2-14所示，要测量山顶上电视塔的塔顶到地平面的高度AB，从与地面在同一水平直线上的C、D两处,测得塔顶的仰角分别为=6812和=7948，C与D两点间的距离为64.15m.已知测量仪的高度为1.56m，求AB.,所求高度AB=AA1+A1B.显然，AA1=1.56m，而在RtA1BD1中，已知，若求出BD1，A1B=BD1sin.这样，问题就归结为：在BC1D1中，已知C1D1=64.15m,=6812，D1=180-=180-7948=10012，求BD1的长.即问题转化为已知BC1D1的两角和一边，怎样求出另一边BD1呢？,正弦定理在任意三角形中，各边与它所对角的正弦之比相等，并且都等于三角形外接圆的直径，即=2R利用正弦定理求三角形的未知元素，主要有以下两种情形：（1）已知两角和一边，求其他角和边；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他角和边.,图2-15,1.在ABC中，已知a=2，b=6，B=135，求A、C、c.2.在ABC中，已知c=,B=60,A=45，求C、a、b.,会利用余弦定理求解斜三角形.,如图2-16所示，在冲模板上加工三角形孔时，为了保证直线尺寸的精度，都会先在三角形孔的位置镗一个圆孔，使圆与三角形的三边相切，在圆孔内用硫化铜着色后，然后再加工三角孔.在ABC中，设AB=180mm，BC=150mm，C=130mm，求内切圆的半径.,图2-16,例1如图2-17所示，在ABC中，已知a=5,b=7,c=4,求A、B、C.解：(1)因为=+-2abcosC所以cosC=0.8286所以C343.(2)因为,=+-2bccosA所以cosA=0.7143所以A442.,例2利用正、余弦定理求“任务”中的内切圆半径.解：在ABC中，由余弦定理得：cosA=0.5726,所以，A=554，2732在ABC中，由余弦定理得：cosC=0.1795,所以C7940，3950.在AOC中，AOC=180-180-2732-3950=11238.由正弦定理得：=，所以，=,所以OA90.21（mm）.所以，在RtAOD中，所求内切圆的半径：OD=OAsin90.210.462241.70（mm）,1.在ABC中，已知a=,b=2,c=-1,求A、B、C.2.缝纫机上的挑线杆形状如图2-18所示，加工过程中需要计算A和C两个孔的中心距.已知BC=60.5mm，AB=15.8mm,ABC=80,求AC的长（精确到0.1mm）.,会利用两角和与差的三角函数公式进行三角函数的有关运算.,求sin15的值，要求不能查表或利用计算器。,我们已经知道45和30的三角函数值，15正好是二者之差，只要我们找到45和30的三角函数值与15角的三角函数值之间的关系，就可计算求得sin15的值.,例1设cos=,求sin(+).解：因为cos=,所以sin=-=-=-，所以sin(+)=sincos+cossin=-=.,例2把asin+bcos化成Asin（+）的形式.解：asin+bcos=如图2-19所示，因为+=1，=，,所以令cos=则必有sin=（或tan=）于是asin+bcos=（sincos+cossin）=sin（+）,图2-19,2.两角和与差的余弦cos（-）=coscos+sinsin.（C-）cos（+）=coscos-sinsin.（C+）例3设sin=，cos=-，求cos（-）.,解：因为sin=，所以cos=-=-因为cos=-，所以sin=-=-所以cos（-）=coscos+sinsin=-（-）+（-）=-,二、二倍角的三角函数在公式sin(+)=sincos+cossin中，令=，则得在公式cos(+)=coscos-sinsin中，令=，则得,由于+=1,所以公式，又可变形为cos2=1-2;cos2=2-1.根据的两个变形式，可得=；=最后这两个公式称为降幂公式.用它可将正弦和余弦的平方式，变换为关于余弦函数的一次式.注:二倍角公式具有相对性，即公式左端的角总是右端的二倍，根据这个特点，可以灵,活运用公式，例如：sin4=2sin2cos2;sin=2sincos;cos=-=1-2=2-1例4设sin=-，,求sin2、cos2.解：因为sin=-=-,所以sin2=2sincos=2(-)（-）=cos2=1-2=1-2=;例5求“任务”中sin15的值.解：sin15=sin（45-30）=sin45cos30-cos45sin30,=-=例6sin50（1+）解：sin50（1+）=sin50（1+）=sin50=2sin50,=2=1.,1.设cos=,cos=，,求cos（+）和cos（-）.2.化简下列各式：（1）cos()sin();（2）sin13cos343+sin77sin17.3.求证(cosx+sinx)=sin(x+).4.把下列各式化成Asin（+)的形式:,(1)sin+cos;（2）sin-cos.5.不查表,求下列各式的值：（1）2sin15cos15;（2）；（3）1-2.6.化简下列各式:(1）cos-sin;（2）.,2.8正弦函数、余弦函数的图像和性质,会画正弦函数、余弦函数的图像,正弦函数y=sinx，在（，+）上的图像如图2-20所示，我们称之为正弦曲线.那么该曲线有何特点，又是如何作出的呢？,由诱导公式sin(x+2k)=sinx(kZ)看出，sin的值具有周而复始的变化规律.于是我们可以用正弦函数y=sinx来描述自然界里存在的许多周而复始的现象，这种现象数学上称为正弦函数y=sinx周期性，其周期为2.,一、正弦函数的图像和性质：1正弦函数的图像观察y=sinx在区间0，2上的图像可以看出，起关键作用的点有5个：（0，0）、（，1）、（，0）、（，-1）、（2，0）.事实上，描出这5个点后，函数y=sinx，x0，2的图像形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线依次将它们连接起来，就得到相应区间上的函数的图像.这种作图方法称,为“五点（画图）法”.同时还可以看出，将正弦函数y=sinx在区间0，2上的图像分别逐次向左右平移2个单位长度，就可得到正弦函数y=sinx在（，+）上的图像.所以，只要我们作出y=sinx在区间0，2上的图像，即可通过平移得到正弦函数y=sinx在（，+）上的图像.2正弦函数的性质从正弦曲线上不难看出：（1）正弦函数y=sinx的定义域为（，+），值域为-1，1，并且正,弦函数y=sinx在x=+k2（k为整数），取得最大值=1；在x=-+k2（k为整数）时，取得最小值=-1.（2）正弦函数值具有“周而复始”的变化规律，当自变量x的值增加2的整倍数时，函数值重复出现.这是正弦函数的一个重要性质，称为周期性，它是周期函数.我们把2称为正弦函数的周期.正弦函数是周期函数，它的周期是2.（3）正弦曲线关于原点O对称.,（4）当x由-增大到时，曲线逐渐上升，sinx的值由-1增大到1；当x由增大到时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到-1.这就是说，正弦函数y=sinx在区间-，上是增函数，在区间，上是减函数.,由正弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间-+2k，+2k（k为整数）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间+2k，+2k（k为整数）上都是减函数，其值从1减小到-1.,例1用“五点法”作y=2sinx在0，2上的图像.解：按五个关键点列表求值描点连线，得y=2sinx在0，2上的图像，如图2-21所示.,图,1.余弦函数的图像余弦函数y=cosx，在（，+）上的图像如图2-22所示，我们称之为余弦曲线.与正弦函数y=sinx的图像相比，可以看出，两者的形状完全相同，只是在坐,二、余弦函数的图像和性质,标系中的位置不同，将y=sinx的图像向左平移个单位长度，即得y=cosx的图像.余弦函数y=cosx在0，2上的五个关键点是：（0，1），（，0），（，-1），（，0）（2，1）.同样，我们可利用“五点法”作余弦函数在0，2上的图像.,2.余弦函数的性质从余弦曲线上不难看出余弦函数具有如下性质：（1）余弦函数y=cosx的定义域为（，+），值域为-1，1，并且余弦函数y=cosx在x=2k（k为整数）时，取得最大值ymax=1；在x=（2k+1）,（k为整数）时，取得最小值=-1.（2）同正弦函数一样，余弦函数是周期函数，它的周期是2.（3）余弦曲线关于y轴对称.（4）类似于正弦函数，可以得出：余弦函数在每一个闭区间(2k-1)，2k（k为整数）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间2k，(2k+1)（k为整数）上都是减函数，其值从1减小到-1.例2用“五点法”做y=-cosx在0，2上的图像.,解：按五个关键点列表求值描点连线，得y=-cosx在0，2上的图像，如图2-23.,图,例3用“五点法”作y=1+sinx在0，2上的图像.解：按五个关键点列表求值：,描点连线，得y=1+sinx在0，2上的图象，如图2-24.,图224,例4要把一块半径为r的圆形铁片剪成矩形铁片，怎样剪才能使矩形铁片的面积最大？解：要使剪得的矩形铁片的面积最大，必须使矩形是圆的内接矩形.设内接矩形为ABCD，如图2-25所示，则AC=2r,又设CAB=，则:AB=2rcos，BC=2rsin，所以矩形面积S=ABBC=2rcos2rsin=22sincos=2sin2.,因为sin21，且当2=90，即=45时，sin2取得最大值1，此时，S取得最大值=2，圆的内接矩形为正方形，如图2-25中虚线所示.故以圆形铁片的直径为对角线，剪圆的内接正方形时，所得矩形铁片的面积最大.,图2-25,1.用五点法作下列函数在0，2上的图像：（1）y=-sinx；（2）y=1+cosx；（3）y=2-3sinx（4）y=3-2cosx.2.利用正弦函数的有关性质，比较下列各组值的大小：（1）sin230与sin240；（2）sin（-）与sin（-）；（3）sin与sin.3.利用余弦函数的有关性质，比较下列各组值的大小：,（1）cos200与cos300；（2）cos（-）与cos（-）；（3）cos与cos.4.求函数y=3-2sinx的定义域和值域.5.x取何值时，函数y=1-2sinx取得最大值和最小值？最大值和最小值各是少？,会绘制正弦型函数y=Asin(x+)的图像.,已知一正弦电流i（A）随时间t（s）的变化规律试绘出在一个周期内电流i（A）随时间t（s）的变化曲线。,由若引入一个新变量则上述函数即可变为y=Asinu，就可利用上节所学“五点（画图）法”作出其图像。,列表求值,描点连线，得在一个周期内的简图，如图2-26所示.,图2-26,形如y=Asin(x+)（式中A、均为常数，且A0，0，x为实数）的函数称为正弦型函数，正弦型函数的图像称为正弦型曲线.。正弦型函数y=Asin(x+)（A0，0）的周期T=，最大值为A，最小值为-A.在物理学、电学中，f=称为频率，t+称为相位，t=0时的相位称为初相.,一般地，作正弦型函数y=Asin(x+)（A0，0）图像，通常引入一个新变量u=x+，分别令u为0、2，则能求出对应的x的值，从而找出五个关键点的坐标，用“五点（画图）法”作出其图像。例1用“五点法”作y=3sin(x-)在一个周期内的简图.分析：为了求出图象上五个关键点的横坐标，设新变量u=x-,分别令u=0、2，则能求出对应的x的值：当u=x-=0时，=；当u=x-=时，=+=；当u=x-=时，=+=；当u=x-=时，=+=；,当u=x-=2时，=+2=由此可见，当u从0变化到2时，也就是x从变化到时，函数y=3sinu=3sin(x)完成一个周期的变化过程.上述过程，可以通过列表求值反映出来.解：列表求值：,描