2020届高考数学：解三角形常见题型及技巧 学案(含习题)

高考解三角形常见题型及技巧【基础知识】1正弦定理2R其中2R为ABC外接圆直径。变式1：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC。变式2：，变式3：abcsinAsinBsinC。2余弦定理a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC。（边换角后）sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA。变式1：cosA；cosB；cosC。变式2：a2（bc）22bc（1+cosA）（题目已知bc，bc或可求时常用）3解三角形（知道三个元素，且含有边）(1)已知三边a，b，c 或两边a，b及夹角C 都用余弦定理(2)已知两边a，b及一边对角A,一般先用正弦定理，求sinB，sinB。(3)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。4三角形常用面积公式(1)Sah。 (2)SabsinCacsinBbcsinA。(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)。5.在ABC中，常有以下结论：1ABC。2任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。3sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC；sincos；cossin。4.大边对大角，大角对大边（若A不是最大角，则A一定是锐角）5.中线定理、角平分线定理【解题技巧】1、题目中给出等式时：先观察是否存在边的齐次、角正弦的齐次，然后进行边、角互化如“”可转化为“”等（也可角化边），如“”不可转化为“”.2、 等式中同时出现A,B,C三个角时，一定是会把一个角化掉（或另两个角合并成一个角），用另外两角代替，再展开，例：sinBsinA(sinCcosC)0，则把B化掉，sin(AC)sinAsinCsinAcosC0，展开后sinC(sinAcosA)0，sinAcosA0，所以tanA1，3、 题目中出现化简时，出现同角正余弦相乘、半角，用二倍角公式化简，例如,，出现sinAcosCsinCcosA时，可以合并为sin(A+C)4、求两个角倍数的加减运算的正余弦值时，一般展开计算，把每个角的正余弦算出来，例如：求sin(2AB)=sin2AcosBcos2AsinB，然后把算出的B,2A的正余弦值代入，即可求得。5、代换思想边之比与角之比可以互化，即，注意题目求值时可以互化求值等式中出现平方项（）或两边乘积（bc）时，一般用余弦定理代换或求解，例：出现+-时，用2bccos替换当等式中出现同角的正余弦且求其中一个值时，考虑平方，然后用平方和等于1代换调，用解方程的方法解出。例，两边平方，整理得，解得，6、第三边上一点与顶点连线，经常用到以这个点为顶点的角的正弦值相等，余弦值相反列等式。7、面积、范围问题：建立如“”之间的等量关系与不等关系，可以通过均值不等式、三角函数有界性求出，全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围。【例题讲解】【例1】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sincos。(1)求cosB的值；(2)若b2a2ac，求的值。解析：（1）出现半角，想到用倍角公式，所以需要平方 （2）出现平方运算，且有ac，想到用余弦定理。求角之比=求边之比【解】将sincos两边同时平方得，1sinB，得sinB，故cosB，又sincos0，所以sincos，所以，所以B，故cosB。(2)由余弦定理得b2a2c22accosBa2ac，所以ac2acosBca，所以ca，故。【例2】（2018新课标全国理科）在中，则ABC D【解析】出现半角用倍角公式，求出cosC,然后知道两边一角，余弦定理因为cosC=2cos2C2-1=2(55)2-1=-35,所以AB2=BC2+AC2-2BCACcosC=1+25-215(-35)=32，则AB=42.【答案】A【例3】（2019新课标全国理科）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围。【解析】（1）首先边齐次进行代换，然后化简（2）已知一个角和一条边，求面积取值范围，把面积化为关于角的一个式子求出。【例4】（2017新课标全国理科）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为. （1）求sin Bsin C;（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求的周长.【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.【答案】（1）；（2）.【例5】（2017新课标全国理科）的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若，的面积为，求【解析】（1）同时出现三个角时，都会用到进行代换，出现时，用倍角公式代换，（2）已知，可求用变形公式【解】（1）由题设及，可得，故上式两边平方，整理得，解得(舍去)，（2）由得，故又，则由余弦定理及得：所以【例6】（2016新课标全国理科）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （I）求C；（II）若的面积为，求的周长【解析】（1）出现等式，首先观察是否齐次，能否边角互化，等式中边能化角，再化解 （2）根据面积求出ab，然后已知c，只需再求a+b 【解】（I）由已知及正弦定理得，故可得，所以（II）由已知，又，所以由已知及余弦定理得，故，从而所以的周长为练习1在中，内角的对边分别为，已知，则ABCD或2已知的内角的对边分别为,且 ,则ABCD3已知是的内角，分别是角的对边.若,（1）求角的大小；（2）若，的面积为，为的中点，求.4中，角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）若为的中点，求的面积.5已知中，角所对的边分别为，且的面积，.（1）求、的值；（2）证明：.答案1【答案】C【解析】，由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，为锐角，2【答案】C【解析】由题，由正弦定理得，所以 即，所以在中.又因为.所以，3【解析】（1）由，得，由正弦定理，得，即，所以，又，则.（2）因