广州、广东中考数学压轴题集锦

Marshall 广州市历年中考压轴题 20182018 年年 24 （14 分）已知抛物线 y=x 2+mx2m4（m0） （1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； （2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧） ，与 y 轴 交于点 C，A，B，C 三点都在P 上 试判断：不论 m 取任何正数，P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该 定点的坐标；若不是，说明理由； 若点 C 关于直线 x= 2 的对称点为点 E，点 D（0，1） ，连接 BE，BD，DE， BDE 的周长记为 l，P 的半径记为 r，求 的值 25 （14 分）如图，在四边形 ABCD 中，B=60，D=30，AB=BC （1）求A+C 的度数； （2）连接 BD，探究 AD，BD，CD 三者之间的数量关系，并说明理由； （3）若 AB=1，点 E 在四边形 ABCD 内部运动，且满足 AE 2=BE2+CE2，求点 E 运 动路径的长度 1 Marshall 20172017 年年 24 （14 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，COD 关于 CD 的对称图形为CED （1）求证：四边形 OCED 是菱形； （2）连接 AE，若 AB=6cm，BC=5cm 求 sinEAD 的值； 若点 P 为线段 AE 上一动点（不与点 A 重合） ，连接 OP，一动点 Q 从点 O 出 发， 以 1cm/s 的速度沿线段 OP 匀速运动到点 P，再以 1.5cm/s 的速度沿线段 PA 匀速运动到点 A，到达点 A 后停止运动，当点 Q 沿上述路线运动到点 A 所需要 的时间最短时，求 AP 的长和点 Q 走完全程所需的时间 25 （14 分）如图，AB 是O 的直径， =，AB=2，连接 AC （1）求证：CAB=45； （2）若直线 l 为O 的切线，C 是切点，在直线 l 上取一点 D，使 BD=AB，BD 所在的直线与 AC 所在的直线相交于点 E，连接 AD 试探究 AE 与 AD 之间的是数量关系，并证明你的结论； 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 2 Marshall 20162016 年年 24 （14 分） （2016广州）已知抛物线 y=mx 2+（12m）x+13m 与 x 轴相交于不同的两 点 A、B （1）求 m 的取值范围； （2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P 的坐标； （3）当m8 时，由（2）求出的点 P 和点 A，B 构成的ABP 的面积是否有最值？若 有，求出该最值及相对应的 m 值 25 （14 分） （2016广州）如图，点 C 为ABD 的外接圆上的一动点（点 C 不在上， 且不与点 B，D 重合） ，ACB=ABD=45 （1）求证：BD 是该外接圆的直径； （2）连结 CD，求证：AC=BC+CD； （3）若ABC 关于直线 AB 的对称图形为ABM，连接 DM，试探究 DM 2，AM2，BM2三者 之间满足的等量关系，并证明你的结论 3 Marshall 20152015 年年 24 （14 分） （2015广州）如图，四边形 OMTN 中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组 邻边分别相等的四边形叫做筝形 （1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论； （2）在筝形 ABCD 中，已知 AB=AD=5，BC=CD，BCAB，BD、AC 为对角线，BD=8， 是否存在一个圆使得 A，B，C，D 四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存 在，请说明理由； 过点 B 作 BFCD，垂足为 F，BF 交 AC 于点 E，连接 DE，当四边形 ABED 为菱形时，求 点 F 到 AB 的距离 25 （14 分） （2015广州）已知 O 为坐标原点，抛物线 y1=ax 2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 点 A （x1， 0） ， B （x2， 0） ， 与 y 轴交于点 C， 且 O， C 两点间的距离为 3， x1x20， |x1|+|x2|=4， 点 A，C 在直线 y2=3x+t 上 （1）求点 C 的坐标； （2）当 y1随着 x 的增大而增大时，求自变量 x 的取值范围； （3）将抛物线 y1向左平移 n（n0）个单位，记平移后 y 随着 x 的增大而增大的部分为 P， 直线 y2向下平移 n 个单位，当平移后的直线与 P 有公共点时，求 2n 25n 的最小值 4 Marshall 20142014 年年 24 （14 分） （2014广州）已知平面直角坐标系中两定点 A（1，0） 、B（4，0） ，抛物线 y=ax 2+bx2（a0）过点 A，B，顶点为 C，点 P（m，n） （n0）为抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）当APB 为钝角时，求 m 的取值范围； （3）若 m，当APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移 t（0t）个单位，点 C、P 平移后对应的点分别记为 C、P，是否存在 t，使得首位依次连接 A、B、P、C所构 成的多边形的周长最短？若存在，求 t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理 由 25 （14 分） （2014广州）如图，梯形 ABCD 中，ABCD，ABC=90，AB=3，BC=4， CD=5点 E 为线段 CD 上一动点（不与点 C 重合） ，BCE 关于 BE 的轴对称图形为BFE， 连接 CF设 CE=x，BCF 的面积为 S1，CEF 的面积为 S2 （1）当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线上时，求 x 的值； （2）试用 x 表示，并写出 x 的取值范围； （3）当BFE 的外接圆与 AD 相切时，求的值 5 Marshall 20132013 年年 24 （14 分） （2013广州）已知 AB 是O 的直径，AB=4，点 C 在线段 AB 的延长线上运 动，点 D 在O 上运动（不与点 B 重合） ，连接 CD，且 CD=OA （1）当 OC=时（如图） ，求证：CD 是O 的切线； （2）当 OC时，CD 所在直线于O 相交，设另一交点为 E，连接 AE 当 D 为 CE 中点时，求ACE 的周长； 连接OD， 是否存在四边形AODE为梯形？若存在， 请说明梯形个数并求此时AEED的值； 若不存在，请说明理由 25 （14 分） （2013广州）已知抛物线 y1=ax 2+bx+c（a0，ac）过点 A（1，0） ，顶点为 B，且抛物线不经过第三象限 （1）使用 a、c 表示 b； （2）判断点 B 所在象限，并说明理由； （3）若直线 y2=2x+m 经过点 B，且与该抛物线交于另一点 C（） ，求当 x1 时 y1 的取值范围 6 Marshall 20122012 年年 24 （14 分） （2012广州）如图，抛物线 y=与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求点 A、B 的坐标； （2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求 点 D 的坐标； （3）若直线 l 过点 E（4，0） ，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角 形有且只有三个时，求直线 l 的解析式 25 （14 分） （2012广州）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=10，F 为 AD 的中点， CEAB 于 E，设ABC=（6090） （1）当 =60时，求 CE 的长； （2）当 6090时， 是否存在正整数 k，使得EFD=kAEF？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 连接 CF，当 CE 2CF2取最大值时，求 tanDCF 的值 7 Marshall 20112011 年年 24 （14 分） （2011广州）已知关于 x 的二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象经过点 C（0， 1） ，且与 x 轴交于不同的两点 A、B，点 A 的坐标是（1，0） （1）求 c 的值； （2）求 a 的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线 y=1 交于 C、D 两点，设 A、B、C、D 四点构成的四边形的 对角线相交于点 P，记PCD 的面积为 S1，PAB 的面积为 S2，当 0a1 时，求证：S1 S2为常数，并求出该常数 25 （14 分） （2011广州）如图 1，O 中 AB 是直径，C 是O 上一点，ABC=45，等 腰直角三角形 DCE 中DCE 是直角，点 D 在线段 AC 上 （1）证明：B、C、E 三点共线； （2）若 M 是线段 BE 的中点，N 是线段 AD 的中点，证明：MN=OM； （3）将DCE 绕点 C 逆时针旋转 （090）后，记为D1CE1（图 2） ，若 M1是线段 BE1的中点，N1是线段 AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说 明理由 8 Marshall 20102010 年年 24 （14 分） （2010广州）如图，O 的半径为 1，点 P 是O 上一点，弦 AB 垂直平分线 段 OP，点 D 是上任一点（与端点 A、B 不重合） ，DEAB 于点 E，以点 D 为圆心、DE 长为半径作D，分别过点 A、B 作D 的切线，两条切线相交于点 C （1）求弦 AB 的长； （2）判断ACB 是否为定值？若是，求出ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记ABC 的面积为 S，若=4，求ABC 的周长 25 （14 分） （2010广州）如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3，0） ， （0，1） ，点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 B、C 不重合） ，过点 D 作直线 y=x+b 交折 线 OAB 于点 E （1）记ODE 的面积为 S，求 S 与 b 的函数关系式； （2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 O1A1B1C1， 试探究 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分 的面积；若改变，请说明理由 9 Marshall 20092009 年年 24 （14 分） （2009广州）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF、GH 分割为四个小矩形，EF 与 GH 交于点 P （1）若 AG=AE，证明：AF=AH； （2）若FAH=45，证明：AG+AE=FH； （3）若 RtGBF 的周长为 1，求矩形 EPHD 的面积 25 （14 分） （2009广州）如图，二次函数 y=x 2+px+q（p0）的图象与 x 轴交于 A、B 两 点，与 y 轴交于点 C（0，1） ，ABC 的面积为 （1）求该二次函数的关系式； （2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴的垂线，若该垂线与ABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形 ACBD 为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 10 Marshall 20082008 年年 24 （14 分） （2008广州）如图，扇形 OAB 的半径 OA=3，圆心角AOB=90，点 C 是 上异于 A、B 的动点，过点 C 作 CDOA 于点 D，作 CEOB 于点 E，连接 DE，点 G、H 在 线段 DE 上，且 DG=GH=HE （1）求证：四边形 OGCH 是平行四边形； （2）当点 C 在上运动时，在 CD、CG、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请 求出该线段的长度； （3）求证：CD 2+3CH2是定值 25 （14 分） （2008广州）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm， 在等腰PQR 中，QPR=120，底边 QR=6cm，点 B、C、Q、R 在同一直线 l 上，且 C、 Q 两点重合，如果等腰PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形 ABCD 与等腰PQR 重合部分的面积记为 S 平方厘米 （1）当 t=4 时，求 S 的值； （2）当 4t10，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值 11 Marshall 20072007 年年 24 （14 分） （2007广州）一次函数 y=kx+k 过点（1，4） ，且分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 点，点 P（a，0）在 x 轴正半轴上运动，点 Q（0，b）在 y 轴正半轴上运动，且 PQAB （1）求 k 的值，并在直角坐标系中画出一次函数的图象； （2）求 a、b 满足的等量关系式； （3）若APQ 是等腰三角形，求APQ 的面积 25 （12 分） （2007广州）已知：在 RtABC 中，AB=BC，在 RtADE 中，AD=DE，连接 EC，取 EC 的中点 M，连接 DM 和 BM （1）若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图 1，探索 BM、DM 的关系 并给予证明； （2）如果将图 1 中的ADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45的角，如图 2，那么（1）中的结论 是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明 12 Marshall 广东省历年中考压轴题 20182018 年年 24 （9 分） 如图， 四边形 ABCD 中， AB=AD=CD， 以 AB 为直径的O 经过点 C， 连接 AC，OD 交于点 E （1）证明：ODBC； （2）若 tanABC=2，证明：DA 与O 相切； （3）在（2）条件下，连接 BD 交于O 于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF 的长 25 （9.00 分）已知 RtOAB，OAB=90，ABO=30，斜边 OB=4，将 Rt OAB 绕点 O 顺时针旋转 60，如题图 1，连接 BC （1）填空：OBC= ； （2）如图 1，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度； （3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在OCB 边上运动，M 沿 OCB 路径匀速运动，N 沿 OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒， 点 N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为 x 秒， OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？ 13 Marshall 20172017 年年 24 （9 分） 如图， AB 是O 的直径， AB=43， 点 E 为线段 OB 上一点 （不与 O， B 重合） ，作 CEOB，交O 于点 C，垂足为点 E，作直径 CD，过点 C 的切线 交 DB 的延长线于点 P，AFPC 于点 F，连接 CB （1）求证：CB 是ECP 的平分线； （2）求证：CF=CE； （3）当 = 3 4时，求劣弧 的长度（结果保留 ） 25 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点 A，C 的坐标分别是 A（0，2）和 C（23，0） ，点 D 是对角线 AC 上一动点（不 与 A，C 重合） ，连结 BD，作 DEDB，交 x 轴于点 E，以线段 DE，DB 为邻边作 矩形 BDEF （1）填空：点 B 的坐标为 ； （2）是否存在这样的点 D，使得DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的 长度；若不存在，请说明理由； （3）求证： = 3 3 ； 设 AD=x， 矩形BDEF的面积为y， 求y 关于x的函数关系式 （可利用的结论） ， 并求出 y 的最小值 14 Marshall 15 Marshall 20162016 年年 24 （9 分） （2016广东）如图，O 是ABC 的外接圆，BC 是O 的直径，ABC=30， 过点 B 作O 的切线 BD，与 CA 的延长线交于点 D，与半径 AO 的延长线交于点 E，过点 A 作O 的切线 AF，与直径 BC 的延长线交于点 F （1）求证：ACFDAE； （2）若 SAOC=，求 DE 的长； （3）连接 EF，求证：EF 是O 的切线 25 （9 分） （2016广东）如图，BD 是正方形 ABCD 的对角线，BC=2，边 BC 在其所在的直 线上平移，将通过平移得到的线段记为 PQ，连接 PA、QD，并过点 Q 作 QOBD，垂足为 O，连接 OA、OP （1）请直接写出线段 BC 在平移过程中，四边形 APQD 是什么四边形？ （2）请判断 OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设 y=SOPB，BP=x（0x2） ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 y 的最大值 16 Marshall 20152015 年年 24 （9 分） （2015广东）O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，过的中点 P 作O 的直 径 PG 交弦 BC 于点 D，连接 AG、CP、PB （1）如图 1，若 D 是线段 OP 的中点，求BAC 的度数； （2） 如图 2， 在 DG 上取一点 K， 使 DK=DP， 连接 CK， 求证： 四边形 AGKC 是平行四边形； （3）如图 3，取 CP 的中点 E，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H，连接 PH，求证：PHAB 25 （9 分） （2015广东）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板 RtABC 和 Rt ADC拼在一起， 使斜边AC完全重合， 且顶点B， D分别在AC的两旁， ABC=ADC=90， CAD=30，AB=BC=4cm （1）填空：AD= （cm） ，DC= （cm） （2）点 M，N 分别从 A 点，C 点同时以每秒 1cm 的速度等速出发，且分别在 AD，CB 上沿 AD，CB 方向运动，点 N 到 AD 的距离（用含 x 的式子表示） （3）在（2）的条件下，取 DC 中点 P，连接 MP，NP，设PMN 的面积为 y（cm 2） ，在整 个运动过程中，PMN 的面积 y 存在最大值，请求出 y 的最大值 （参考数据 sin75=，sin15=） 17 Marshall 20142014 年年 24 （9 分） （2014广东）如图，O 是ABC 的外接圆，AC 是直径，过点 O 作 ODAB 于点 D，延长 DO 交O 于点 P，过点 P 作 PEAC 于点 E，作射线 DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接 PF （1）若POC=60，AC=12，求劣弧 PC 的长； （结果保留 ） （2）求证：OD=OE； （3）求证：PF 是O 的切线 25（9 分）（2014广东） 如图， 在ABC 中， AB=AC， ADBC 于点 D， BC=10cm， AD=8cm 点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的 直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB、AC、AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t0） （1）当 t=2 时，连接 DE、DF，求证：四边形 AEDF 为菱形； （2）在整个运动过程中，所形成的PEF 的面积存在最大值，当PEF 的面积最大时，求 线段 BP 的长； （3）是否存在某一时刻 t，使PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存 在，请说明理由 18 Marshall 20132013 年年 24（9 分）（2013广东） 如图， O 是 RtABC 的外接圆， ABC=90， 弦 BD=BA， AB=12， BC