07 梯形2教师版初一竞赛进度一

1 第 07 讲 梯形（2） 【梯形的定义】 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，较短的底 叫做上底，较长的底叫做下底。不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯 形的高。 【梯形的分类】 .梯形等腰梯形：两腰相等的 直角的梯形；直角梯形：有一个角是 特殊梯形 一般梯形 梯形 【等腰梯形的性质】 等腰梯形的两腰相等 等腰梯形同一底上的两个角相等 等腰梯形的两条对角线相等 等腰梯形是轴对称图形 【等腰梯形的判定】 两腰相等的梯形 同一底上的两个角相等的梯形 两条对角线相等的梯形 【梯形中位线定理】 连结两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线平行于两底并且等于两底之和的一半。 【梯形面积公式】 mhbahS)( 2 1 梯形 （其中)( 2 1 bam为梯形中位线长，a、b分别为梯形上、下 底长） 【常见梯形中辅助线作法】 【例题讲解】【例题讲解】 【例题【例题1】已知： 如图， D 是四边形 ABCF 的 BC 上一点， AB/DF，12 ， AC=DF， FCAD， AC、DF 交于点 G。求证：四边形 ADCF 是等腰梯形。 2 【例题【例题2】如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，M、N 分别是 AD、BC 的中点，E、F 分 别是 BM、CM 的中点。 （1）求证：四边形 MENF 是菱形 （2）若四边形 MENF 是正方形，请探究等腰梯形 ABCD 的高和底边 BC 的数量关系，并 证明你的结论 【例题【例题3】如图，在 RtABC 中，E 是斜边 AB 上的中点，DEBC 交 AC 于 D，DFEC 交 BC 的延长线于 F。求证：四边形 EBFD 是等腰梯形。 3 【例题【例题4】已知，在ABC 中，ADBC 于点 D，点 E,F,G 分别是 CA,AB,BC 边上的中点， EF:GD=7:3，点 M,N 分别是 FG,ED 的中点，MN=7.5，DE=5. 求： （1）EF 的长； （2）ABC 的周长。 解： （1）、7.5,(MNMN为、GFDE中点） 215EFGDMN，且:7:3EF GD 10.5EF，且4.5GD （2） 0 90 ,5,10ADCDEAC 且6,8,15CDADBDBGGD 22 17,221ABADBDBCGC 周长=48 【例题【例题5】如图，梯形 ABCD 的中位线 MN 与对角线 AC,BD 分别交于点 P,Q，设梯形 ABCD 的周长为a，四边形 PQCD 的周长为b。若 AB=2CD，试求 b a 的值。 NM G F E DCB A 4 【例题【例题6】如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC 与 BD 相交于点 O。若 EF 为中位线，且 EO= 1 2 AB。 （1）求证：ACBD； （2） 若 BD=2ab，AC= 22 ab，(0)ab，求 EF 的长。 【例题【例题7】如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，AD=BC，BD=DC，ACBD 于 M。 求证：CM= 1 2 (AB+DC)。 5 6 【例题【例题8】如图， 在梯形 ABCD 中， ABCD， 记 梯形A B C D SS， AOB1 SS， DOC2 SS。 试判断 12 SS与S的大小关系，并说明理由。 【例题【例题9】如图，梯形 ABCD 中，ADBC，中位线 EF 分别与 BD，AC 交于 G,H，若 AD=6， BC=10，求 GH 的长。 解析：因为 E,F 分别是腰 AB,CD 的中点，则 【例题【例题10】如图，已知等腰梯形 ABCD 中，AD/BC, 且 ACBD,中 位线长 15cm. 求梯形 ABCD 的面积。 解：作/DMAC交BC延长线于M点 作DHBC于H ,ACBDDMBD ABCD为等腰梯形，BDAC 可证ACMD为平行四边形，DMAC DMBD，则BDM为等腰Rt ,DHBMDH为BM边的中线， 7 11 ()15 22 DHBMADBC 所以 2 1515225() ABCD Scm 【例题【例题11】如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB/CD, AC、BD 交于点 O. AOB=60 ,点 P、Q、 G 分别是 AO、BC、DO 的中点。求证：PQG 是等边。 证：ABCD是等腰梯形 ACBD，且,BCAD ABAB DAB CBA，则OABOBA 且 0 60 ,AOBOAB 为正三角形 P为OA中点， 0 ,90BPOABPC 且Q为BC中点， 1 2 PQBC 同理可证OCD为正三角形， 0 ,90CGBDCGB 且Q为BC中点， 1 2 GQBC G为OD中点，P为OA中点，GP为ODA中位线 11 22 GPADBC PQGQGP 即PQG为等边三角形 【例题【例题12】如图，在梯形 ABCD 中，AB/DC, 中位线 EF=7, 对角线 ACBD, BDC=30 , 求梯形的高 AH. 解：作/AMBD与CD的延长线交于M点 0 30MBDC 8 AH是梯形的高， 0 90AHM 则3HMAH 00 00 9060 3 9030 , 3 34 33 33 ACHM CAHACHCHAH HMCHAHAHAH 即 4 3 3 CMAH，由中位线7EF 14CMABCD 故 47 33 32 AHCM 【例题【例题13】如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，且 ABBC 于点 B，点 M 在 BC 上，MA MD， AMB75，DMC45，求证：ABBC. 解：如图，过点 A 作 BC 的平行线 交 CD 的延长线于点 E 则四边形 ABCE 是矩形 易求 0 60AMD 又AMDM ADM是等边三角形 0 160 又 0 245 0 375 易证AEDABM ABAEBC 【例题【例题14】如图 1 所示，梯形ABCD中，ADBC，45DCB，2CD ，BDCD于 点D过C点作CEAB于点E，交对角线BD于点F，点G为BC边的中点，连接EG、 AF A BC D M 750450 3 2 1 B M C D E A 9 求证：CFABAF 图 1 解：如图 2 所示，延长BA、CD交于点H 图 2 由90DBHH，90DCFH，得DBHDCF 结合CDBD，90CDFBDH故CDFBDH，可得DFDH， CFBHBAAH 由ADBC， 得( 4 5)A D FH D A， 结合AD为公共边，DFDH， 可证得ADF ADH，所以AFAH，因此CFABAF 【例题【例题15】如图 3 所示， 在梯形ABCD中，ADBC，E为AB的中点，EFCD于点F 求 证： ABCD SEF CD 梯形 图 3 解：如图 4 所示，延长DE交CB的延长线于点M，连接CE 图 4 易证ADEBME，故 ADEBME SS ，MEDE 所以 ABCDDMC SS ， 1 2 CDE SCD EF 由MEDE，知 1 2 MCEDCE SSCD EF ，故 DMC SEF CD ，即 ABCD SEF CD 10 作业 1. 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC, BAC=90,AB=AC, BD=BC, AC、BD 交于点 E. 求证：CD=CE. 证明：分别作、AGDHBC于、GH点 ABC为等腰 1 , 2 RtAGBC 1 /, 2 ADBCDHAGBC且BDBC 1 2 DHBD，且 0 90DHB 0 00 00 0 30 , 18030 75 ,75 2 75 , DBHBDBC BCDBDC DECEBCBCACDCE 2.如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，90CD，E、F分别为AB、CD的中 点求证：2CDABEF 解：如图所示，过E点分别作AD、BC的平行线，交DC于点G、H，易得DGAE， HCEB E、F为AB、CD中点，可知AEEB，DFFC所以DFDGCFCH，即 1 () 2 GFFHDCAB 由90CD，得90EGFEHF，故GEH为直角三角形 在Rt GEH中，由GFFH可得GFFHEF（F点也为GH的中点） ，故 1 () 2 EFDCAB，