数学人教版八年级上册角的平分线的性质.ppt

角的平分线的性质(1),1、角平分线的概念,一条（）把一个角分成两个（）的角，这条（）叫做这个角的平分线,1=2=AOB,射线,相等,射线,复习提问,复习提问,2、点到直线距离:,从直线外一点,到这条直线的垂线段,的长度，,叫做点到直线的距离。,下图中，能表示点P到直线l的距离的是,线段PC的长,复习提问,在一张白纸上任意画一个角，你有什么办法可以把这个角分成两个相等的角？,量角器、对折,如果遇到的角是不好测量，或者没办法对折的时候，怎么办呢？,如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?,探究1：,E,角的平分线的作法,证明：在ACD和ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）ACDACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的对应边相等）AC平分DAB（角平分线的定义）,A,作法:以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.分别以M,N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在AOB的内部交于点C.作射线OC,射线OC即为所求.,0,温馨提示:作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!,试一试不利用平分角的仪器能否作出已知角的平分线（工具可以使用直尺和圆规）已知:AOB.求作:AOB的平分线.,A,为什么OC是角平分线呢？,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分AOB。,证明：在OMC和ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，OMCONC（SSS）MOC=NOC即：OC平分AOB,猜想:角的平分线上的任一点到角的两边的距离相等,验证猜想:已知:“一个点在一个角的平分线上”，结论:“这个点到这个角两边的距离相等”。,已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。,求证：PD=PE,证明：PDOA，PEOB（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）,在PDO和PEO中,PD=PE（全等三角形的对应边相等）,PDO=PEOAOC=BOCOP=OP,PDOPEO（AAS）,证一证,角平分线的性质,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,这三个条件必须完全，不能少了任何一个。,OC是AOB的平分线,又PDOA,PEOBPD=PE(角的平分线上的点到角的两边距离相等).,符号语言：,如图，AD平分BAC（已知）,（）,1.判断：,练一练,BD=CD,如图，DCAC，DBAB（已知）,（）,练一练,BD=CD,AD平分BAC,DCAC，DBAB（已知）,不必再证全等,练一练,BD=CD,2.已知RtABC中，BD平分ABC,DEAB于点E，则图中与DE相等的线段是_,理由是_.,DC,角平分线上的点到角两边的距离相等,练一练,3.在ABC中，C=90，AD为BAC的平分线，DEAB，BC7，DE3.则BD的长是（）。,练一练,4.在OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.,练一练,例已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、FBM是ABC的角平分线，点P在BM上PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,A,B,C,M,N,P,怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？,5.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？（用尺规作图，只保留作图痕迹）,分析：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在ABC和CAB的角平分线的交点处再利用角平分线的作法作出ABC和CAB的角平分线即可,A,C,B,利用结论，解决实际问题,这节课我们学习了哪些知识？,小结,1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；,2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,OC是AOB的平分线,又PDOA,PEOBPD=PE(角