2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(重庆卷)(含答案全解析)VIP

2015年全国普通高等学校统一招生考试重庆科学数学数学试卷(科学、技术、农业和医学)由4页组成。满分是150分。测试时间是120分钟。附注：1.在回答问题之前，请务必在答题卡上指定的位置填写您的姓名和入场券号码。2.回答多项选择题时，你必须用2B铅笔将答题纸上相应问题的答案标签涂黑。如果您需要更改，请用橡皮擦将其擦干净，然后选择另一个答案标签。3.回答非多项选择题时，你必须用0.5毫米黑色签字笔在答题纸上指定的位置写下答案。4.所有问题都必须在答题纸上回答，试卷上的答案无效。5.考试结束后，将试卷和答题卡一起交回。特别提醒336014、15和16有权选择问题，请从他们中选择两个问题来回答。如果三个问题都完成了，根据前两个问题打分。I.多项选择题有10项，每项5分，每项50分。在每个项目中给出的四个选项中，只有一个符合项目的要求。1.(2015重庆，李1)已知集A=1，2，3，B=2，3，则()A.A=BB。AB=C.ABD.BA回答：D分辨率： ba，因为A=1，2，3，B=2，3。2.(重庆，2015，李2)在算术级数an中，如果A2=4且A4=2，a6=()A.-1B.0C.1D.6回答：B分辨率：因为an是一个算术级数，2a4=a2 a6，所以a6=2a4-a2=22-4=0。3.(2015重庆，李3)重庆市2013年各月平均气温()资料的茎叶图如下：这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.23回答：B对：的分析表明，这组数据的中值是20 202=20。4.(2015重庆，李4)“x1”是“log12(x 2)0”的()A.充分和必要条件b .充分和不必要条件C.d .既不充分也不必要的条件回答：B分析：从log12(x 2)0获得x 21，即x-1，而x | x1 x | x-1，因此“x1”是“log12(x 2)0”的充分和不必要的条件。5.(重庆，2015，李5)如果一个几何的三个视图都显示在图中，则该几何的体积是()A.13 B.23 C.13 2D.23 2回答：A分析：从这三个视图中可以看出，几何形体是一个组合体，其左侧是一个三棱锥，底部是一个等腰直角三角形(斜边长度等于2)，高度为1，因此体积V1=1312211=13；在它的右边是一个底部半径为1，高度为2的半圆柱体，所以体积V2=12212=，所以体积V=V1 V2=13 的几何。6.(重庆，2015，Li 6)如果矢量a和b不为零并且满足|a|=223|b|，并且(A-B) 3A2B，则a和b之间的角度为()A.4B.2C.34D.回答：A分析：已知自(a-b) (3a2 b) (3a2 b)=0，即3|a|2-ab-2|b|2=0。假设a和b之间的角度为，那么3|a|2-|a|b|cos -2|b|2=0，即3223|b|2-223|b|2cos -2|b|2=0，那么=4。7.(重庆，2015，李7)执行程序框图如图所示。如果输出K的值为8，则判断框中可以填写的条件为()A.s34B.s56C.s1112D.s2524回答：C分析：从程序框图中示出程序执行过程如下：S=0，k=0，满足条件；K=2，s=12，满足条件；K=4，s=34，满足条件；K=6，s=1112，满足条件；K=8，s=2524，则输出k=8不应满足该条件，因此判断框中的条件为s1112。8.(重庆，2015，李8)已知直线l:x ay-1=0(aR)是圆C:x2 y2-4x-2y 1=0的对称轴。交点A(-4，A)是圆C的切线，而切点B是|AB|=()A.2B.42C.6D.210回答：C根据主题，直线L穿过圆心C (2，1)，所以2 a-1=0，所以a=-1，所以点A的坐标是(-4，-1)。圆的半径等于2。从ABC到直角三角形，|AB|=|AC|2-r2。并且|AC|=210，所以|AB|=(210)2-22=6。9.(重庆，2015，李9)如果tan =2tan5，cos-310sin-5=()A.1B.2C.3D.4回答：C分析：因为tan =2tan5，所以cos-310s in-5=sin-3102 sin-5=sin5 sin-5=sincos5 cossin5 sincos5-cossin5=tantan5 tan-tan5=3 tan5 tan5=3。10.(重庆，2015，李10)将双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点设为f，右顶点设为a，通过f的垂线为AF，与双曲线相交于b点和c点，即垂线分析：设置双曲半焦距为C，然后F(c，0)，A(a，0)。最好将点B设置在点F之上，点C设置在点F之下，然后设置Bc、b2a、Cc、-b2a。由于KAC=0-B2AA-C=B2A (A-C)和ACBD，kBD=-a(a-c)b2，那么直线BD的方程是y-b2a=-a(a-c)b2(x-c)，从双曲线的对称性可知，交流的垂线BD和交流的垂线CD是关于x轴对称的，所以两条垂线的交点d在x轴上，所以xD=-b2a-b2a(a-c) c=b4a2(a-c) c。所以从d到直线BC的距离是c-xD=-b4a2(a-c)，从已知的-b4a2(a-c)0，3454，直线l和曲线c的交点的极坐标为。答案：(2，)分析：由x=-1 t和y=1 t得到的直线l的一般方程是y=x 2。此外，2co 2=4可以转换为2(cos2-sin2)=4。即，(cos )2-(sin )2=4，所以x2-y2=4，也就是说，曲线c的直角坐标方程是x2-y2=4。从y=x 2，x2-y2=4，x=-2，y=0，即直线l和曲线c的交点坐标为(-2，0)。因为0，3454，=2，=，即交点的极坐标为(2，)。16.(重庆，2015，李16)如果函数f(x)=|x 1| 2|x-a|的最小值为5，则实数a=1。回答：-6或4分析：当a1时，f(x)=|x 1| 2|x-a|=-3x 2a-1，x-1，所以f(x)在(-，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，那么f(x)取x=a时的最小值f(a)=-a-1，A=-6，从-a-1=5，满足a - 1；当a-1时，f(x)=|x 1| 2|x-a|=-3x 2a-1，x-1，-x 2a 1，-1xa，3x-2a 1，xa。所以f(x)在(-，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，那么f(x)在x=a时取最小值f(a)=a 1，从1=5，a=4，符合a-1。总而言之，实数a的值是-6或4。3.回答33，360个主要问题，共6项，75分。答案应该包括书面解释、证明过程或计算步骤。17.(该题满分为13分，(1)小问题得5分，(2)小问题得8分)(重庆，2015，李17)端午节吃粽子是我国的传统习俗。一个盘子里有10个粽子，包括2个豆酱粽子，3个肉粽子和5个白粽子。这三个粽子外观完全一样。随意选择其中的3个。(1)找出三个粽子中每一个得到一个的概率；(2)设置X代表获得的豆酱饺子的数量，并找到X的分布列表和数学期望。解：(1)使得“三个粽子各一个”的事件通过经典概率公式计算如下P(A)=C21C31C51C103=14。(2)x的所有可能值都是0、1、2和P(X=0)=C83C103=715，P(X=1)=C21C82C103=715，P(X=2)=C22C81C103=115。总而言之，X的分布列表是X012P715715115因此，E(X)=0715 1715 2115=35。18.(该题满分为13分，(1)小问题得7分，(2)小问题得6分)(2015重庆，李18)已知函数f(x)=sin2-xsin x-3cos2x。(1)求出f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在6，23上的单调性。解决方案：(1)f(x)=sin2-xsin x-3 cos 2x=cos xsin x-32(1 cos 2x)=12 sin 2x-32 cos 2x-32=sin 2x-3-32，因此，f(x)的最小正周期为，最大值为2-32。(2)当x6，23，02x-3时，因此当02x-32，即6x512时，f(x)单调增加。当22x-3时，即512x23，f(x)单调递减。总而言之，f(x)在6，512上单调增加；它在512，23上单调递减。19.(本项满分为13分，(1)小问题4分，(2)小问题9分)(重庆，2015，Li 19)如图所示，在三角金字塔P-ABC中，PC平面ABC，PC=3，ACB= 2.d，e分别是线段ab和BC上的点，CD=DE=2，CE=2EB=2。(1)证明：DE平面pcd(2)求二面角-PD-c的余弦值(1)证明了：是由PC 平面ABC和DE平面ABC组成的，所以PC de。ce=2和CD=de=2的CDE是一个等腰直角三角形，所以CDDE .从PCCD=c，DE垂直于平面PCD中两条相交的直线，所以DE平面PCD。(2)解：由(1)可知，CDE是等腰直角三角形， DCE= 4。如图所示，如果d取为DF，而CE垂直于f，就很容易知道DF=FC=FE=1。EB=1也是已知的，所以FB=2。来自ACB的dfAC=2，dfac=fbbc=23，因此AC=32DF=32。以C为坐标原点，以CA、CB和CP的方向为X轴，Y轴和Z轴为正方向，建立空间直角坐标系，然后C (0，0，0)，P (0，0，3)，A32，0，0，E (