2008年高考理科数学试题(辽宁卷).ppt

,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动目录上页下页返回结束,二重积分的计算法,第九章,机动目录上页下页返回结束,二重积分存在与区域分法无关。,在直角坐标系中，用平行于坐标轴的分割网，,则有：,即可运用累次积分计算,一、利用直角坐标计算二重积分,机动目录上页下页返回结束,上例中，若截面积已知，则：,，则有,投影为,机动目录上页下页返回结束,即是,代入前式：,说明：,计算底面是矩形的立体体积时，在平面直角,坐标系下，可化为两个单重积分计算.,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X型区域,则,若D为Y型区域,则,机动目录上页下页返回结束,例1.计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,机动目录上页下页返回结束,例2.计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线,则,机动目录上页下页返回结束,例3.计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X型域:,先对x积分不行,机动目录上页下页返回结束,说明:若积分区域既是X型区域又是Y型区域,则有,机动目录上页下页返回结束,理论上，不同次序的累次积分结果相同，但不同次,序的累次积分其过程和复杂程度却大不相同，甚至,某种次序的累次积分无法计算.因而，实际计算时，,要注意积分次序的选择，必要时交换积分次序，交,换积分次序时，积分限要作相应变化.,例4.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,1）若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,说明：,2）计算二重积分时，还可以根据积分,被积函数的奇偶性,区域的对称性和,进行化简.,例5.计算,其中D由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,求下列二重积分：,机动目录上页下页返回结束,1、极坐标系及坐标变换,平面上一点,，若,直角坐标系下坐标为,，极坐标为,则,方程,二、利用极坐标计算二重积分,机动目录上页下页返回结束,例6.将下列直角坐标系下的平面,区域在极坐标系下用不等式,表示.,（1）,（2）,1）,2）由曲线,围成的区域.,在极坐标系下,用同心圆r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,及射线=常数,分划区域D为,机动目录上页下页返回结束,2、利用极坐标计算二重积分,得：,机动目录上页下页返回结束,所以，极坐标系下的面积元素：,由直角坐标、极坐标关系：,设,则,特别,对,机动目录上页下页返回结束,若f1则可求得D的面积,思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试,答:,问的变化范围是什么?,(1),(2),机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,例7.计算,解：,积分区域是圆域，用极坐标方便，则,所以,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,例8.计算,由,围成.,解：,积分区域如下：,例9.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,坐标计算.,机动目录上页下页返回结束,例10.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,机动目录上页下页返回结束,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动目录上页下页返回结束,则,机动目录上页下页返回结束,极坐标系情形:,若积分区域为,(2)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,