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文档简介

1,第十节,一、最值定理,二、介值定理,*三、一致连续性,闭区间上连续函数的性质,第一章,2,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点,第一章第一节,3,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,第一章第一节,4,推论.,由定理1可知有,证:设,上有界.,二、介值定理,定理2.(零点定理),至少有一点,且,使,(证明略),在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,第一章第一节,5,定理3.(介值定理),设,且,则对A与B之间的任一数C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,第一章第一节,6,例1.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根;,取,的中点,内必有方程的根;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,7,上连续,且恒为正,例2.设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令,则,使,故由零点定理知,存在,即,当,时,取,或,则有,证明:,8,*三.一致连续性,已知函数,在区间I上连续,即:,一般情形,就引出,了一致连续的概念.,定义:,对任意的,都有,在I上一致连续.,显然:,第一章第一节,9,例如,但不一致连续.,因为,取点,则,可以任意小,但,这说明,在(0,1上不一致连续.,定理.,上一致连续.,(证明略),思考:P73题6,提示:,设,存在,作辅助函数,显然,第一章第一节,10,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,第一章第一节,11,1.任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可将它,思考与练习,一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,第一章第一节,12,则,证明至少存在,使,提示:令,则,易证,2.设,作业P73题2;3;4,一点,第一章第一节,13,备用题,至少有一个不超过4的,证：
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