机械动力学总

1,机械动力学,Copyright2009HRBEU702AllRightsReserved,杨恩霞庞永刚,哈尔滨工程大学机电学院,2,机械动力学（MechanicalDynamics）,.教材和参考书1机械动力学.张策.高等教育出版社,20082机械动力学.唐锡宽.高等教育出版社,19833机械动力学分析.将伟.中国传媒大学出版社,2005,3,先修知识：线性代数、理论力学、机械原理相关知识：分析力学、机械振动、数值分析相关工具：ADAMS、ANSYS、MATLAB、MATHEMATIC等。,4,2.课程内容绪论平面机构单自由度动力学分析：动态静力分析法，等效力学模型法，动力学普遍方程。第二类拉格朗日方程应用于双自由度和多自由度问题。机械效率法、逐次逼近法进行动力学分析。变形单元杆动力学分析。系统弹性运动分析,5,绪论,一、机械动力学课程性质1.机械：2.动力学：动力学正问题动力学反问题机械动力学：,已知力（力矩）求运动,已知运动求力（力矩）,机构、机器的总称。,研究刚体运动及受力关系的学科,是研究机械在力作用下的运动、或机械在运动中产生的力（力矩）的科学,6,例：1、机构组成及性质：有无曲柄、急回特性2、若已知力（力矩），当机构处于平衡状态时，求未知力（力矩）3、若已知M、F，求、v时,机构学。,机械静力学问题。,机械动力学。,7,求下图支点的最佳位置,如果梁静止为静力学问题；如果梁有惯性运动为动力学问题。,8,二、机械动力学研究内容1.描述机械有那些基本参数1）结构参数：2）运动参数：3）力的参数：,几何参数（杆长）物理参数（质量m，转动惯量J）,转角、s、v、a,力矩M、力F,9,2.研究内容1）已知机械的物理参数、几何参数a、已知运动求受力可表示为：b、已知受力求运动规律可表示为：2）已知运动、受力求结构这是机械设计的研究问题，一般实际做法是先设计后校核，少数情况是直接求设计参数。例：,动力学分析问题,动力学综合问题,10,3）具体章节内容单自由度动力学方程的建立二自由度动力学方程的建立多自由度动力学方程的建立理想情况下（无摩擦、变形等）考虑摩擦，如铰链、关节处摩擦考虑弹性变形，如杆变形、并联柔性机器人变质量时的动力分析，如推土机工作过程、火箭发射过程有间隙情况下动力学研究，不详讲述,11,三、研究对象-,以机械为研究对象,典型机构,连杆机构,凸轮机构,齿轮机构（轮系）,组合机构,12,四、其它问题,1.学习机械动力学目的、意义学习动力学分析问题的思想和基本方法，能够解决一般动力学问题。2.考核方式闭卷考试，2个小时3、希望：,13,1-1利用动态静力法进行动力分析一、思路动静法：,第一章单自由度机械系统的动力学分析,根据达朗贝尔原理将惯性力计入静力平衡方程，来求解未知力（如原动件上施加的力、约束反力等）。,用静力平衡方程解决动力学问题基本方程为：,14,二、典型实例例1：已知：求：角加速度解：利用动静法拆开机构轮1：有反力R，惯性力矩,M1轮2：有反力R，惯性力矩,M2则有方程：得:,结论：,1、加惯性力（力矩）核心2、约束反力纽带3、一个构件列一个受力平衡方程基础,15,例2：已知从动件推程方程:求：凸轮角加速度解：忽略摩擦时反力R，沿法线方向凸轮：有反力R，惯性力矩，M1推杆：有反力R，惯性力矩，F2则有方程：得：,结论：,例1的角加速度是用传动比例2的角加速度是用推杆位移方程,16,例3：已知：求：建立运动方程解：设杆1转角杆3位移则有方程：,17,1-2利用等效力学模型法进行动力学分析一、等效力学模型概念1、思路,动能定理：,合外力所做功的增量=系统动能的增量,质点：,18,1,2、实例：已知如图，构建动力学方程,等效力矩Mv,等效转动惯量Jv,M,等效力学模型,19,什么是等效力学模型法？用作用在某个构件上的一个假想力（力矩）代替所有的外力（外力矩），使假想力（力矩）所作的功或产生的功率等于所有被代替的力（力矩）所作的功或产生的功率之和。将复杂系统变成简单力学模型（构建等效件）,20,力矩与转速同向取正，反向取负,1.等效力矩2.等效转动惯量3.等效质量4.等效力以上可以看出，这些等效参数仅与传动比有关，而与真实速度无关。,为力与速度夹角,二、等效参数,21,1.瞬心法2.解析法3.特例齿轮传动，凸轮传动等,求传动比方法：,22,根据动能定理有：1.微分形式2.积分形式,的函数,的函数,三、方程形式,23,例1.已知求：角加速度解：以构件1为等效件,四、典型实例,24,例2.已知从动件的推程方程求：凸轮的角加速度（略杆的重力）解：选凸轮为等效件,，,25,例3.已知求：建立系统运动方程（略m2，m2g）解：选1为等效件,26,例4.已知：，略重力及质量求：1）启动力矩M1最小值；2）如启动3秒后n1=600rpm，求M1。解：1)选中心轮1为等效件,27,若不忽略齿轮2，3的质量？,2）,a.若匀速转动M1=？b.若去掉M1，多长时间停车？,28,五、运动方程的求解1.=常数,3）为角速度的函数：,1）为常数（用微分形式）：,2）为转角的函数：,29,2.不为常数,1）=常数,2）：利用积分方程,3）：利用微分方程,30,4）：利用微分方程,微分方程解析求解,数值求解迭代法,数值求解龙格-库塔（Runge-Kutta）法求解,31,例1.已知：求：1）由静止启动5秒时蜗杆1的角速度；2）若，其它条件不变，求蜗杆1的角速度。,解：1）,32,2）分析,1,33,例2.已知：弹簧压缩产生的力矩求：断电后角速度为0时杆的转角,利用积分形式得：,34,例3.已知：从动件推程方程求：凸轮运动参数的变化规律解：选凸轮为等效件,1,35,练习：,已知：,求：运动方程,分析：选1为等效件,36,1-3利用拉格朗日法进行动力学分析一、分析力学的基础知识1.分析力学,37,2.约束及分类、约束方程约束：分类：,双面约束（刚杆的约束）单面约束（绳子的约束）,完整约束（几何约束）非完整约束（运动约束）,稳定约束（定常约束）非稳定约束（非定常约束）,对位置进行限制的约束,-对速度、加速度进行限制,对构件的位置或运动进行限制,根据约束对限制的不同情况：,-不随时间变化而变化,-随时间变化而变化,-用等式方程表示的约束,-用不等式方程表示的约束,约束方程：,将约束条件用数学形式表示出来的方程,38,3.约束反力：主动力（载荷）：,4.虚位移：实位移：,约束对构件的作用力,除约束反力以外的力,在约束允许的条件下，可能发生的任一个微小位移,真实发生的位移,39,5.理想约束：,6.广义坐标：,这里的广义坐标是杆1转角还是B点直角坐标,为什么？,在任意虚位移上系统约束反力所作元功之和为零（略摩擦）,用以确定机构位置的一组独立参数,40,7.自由度：,8.广义速度：广义坐标q对时间t的一阶导数,广义坐标的独立变分数目自由度数,在完整系统中，广义坐标数=独立变分数=自由度数,41,例：如图平面机械手,广义坐标：,m点坐标：,偏导数中广义坐标是相互独立的，均为时间t的函数,42,9.广义加速度：,10.虚位移原理：,证明,稳定理想约束系统处于平衡的充分必要条件是在任一给定虚位移上，主动力所做元功之和为零。,43,虚位移原理的表达形式：,形式1：,形式2：,形式3：,广义坐标表达式,广义力,44,例1：已知如图，,广义力：,求广义力。,解：,45,问题：如有力矩M是否影响广义力？,广义力应用的是虚位移原理，所以有影响。,46,例2：已知,求：广义力,解：自由度数=广义坐标数,取,47,例3：,解：设A点虚位移,BC杆虚位移,CE杆位移,已知六杆机构中的力F，求平衡时的驱动力矩M。,虚位移原理应用,用于解决静力学问题,则：,48,例4：已知,求：平衡时，,解：分析,取,因广义坐标为独立参数，不互相影响,轮4不动，轮1有虚位移，得：,轮1不动，轮4有虚位移，得：,1/9,8/9,49,说明：,系统中所有外力在虚位移上做的虚功等于广义力在广义坐标的虚位移上做的虚功；,广义坐标是独立的，因此在求平衡问题时可以假设仅有一个虚位移，即系统此时为一个自由度来求解。,50,惯性力为，,11.动力学普遍方程（第一类拉格朗日方程）：,动力学普遍方程：具有理想约束的质点系运动时，在任一瞬时作用在质点系上的所有主动力和惯性力在任意虚位移上所做的元功之和等于零。,若系统具有理想约束，并由n个质点组成，,任一质点为，,主动力为，,根据虚位移原理在任一瞬时有：,51,例：,用功率表示功,又,已知标准齿轮标准安装，系统在水平面内运动，,求：运动与受力关系,分析：,52,12.第二类拉格朗日方程：,设理想、完整约束系统由n个质点组成，,上式变分得（变分运算如同微分运算，进行微分运算后，将微分符号改为变分符号）,矢径对时间求导,有N个自由度，,系统中任一质点的矢径可表示为：,53,将上式对求偏导有：,将上式对t求全导数：,将第一类拉氏方程打开，有：,惯性力所做元功之和：,54,和带入有：,引入系统动能：,得,55,由于广义坐标的变分都是独立的，因此上式中必有：,说明：,1、拉氏方程是一个由N个方程组成的二阶方程组，其特点是不含约束反力。,2、拉氏方程是以能量的角度研究问题，因此避免了加速度的分析。,3、方程表明了动能变化和主动力之间的关系。,拉氏方程：,56,例1：已知标准齿轮标准安装，系统在水平面内运动求：运动与受力关系,分析：系统具有一个自由度,又,二、利用拉式方程进行动力学分析,取,B,57,例2.已知：求：用拉格朗日方程动力学方程,解：系统一个自由度，取,系统动能：,则,58,从虚功率角度求广义力,此机构的虚功率：,由拉氏方程：,得:,也可由虚功来求Q1,59,单自由度机构的动力学分析小结：,动态静力分析法：已知运动求力已知力求运动,等效力学模型：求等效量，用微分、积分方程求解,动力学普遍方程：用惯性力在虚位移上也做虚功,拉氏方程：构造系统动能，动能求导，再求广义力,60,课堂练习,已知：,61,1、等效法：,选H为等效件,等效力矩：,因为为常数，选微分方程,62,2、动力学普遍方程（拉氏一法）：,给定：,63,3、拉氏二法：,取：,64,广义力的求法一般有两种方法:,1、按广义力定义求解,2、采用虚功方法进行求解,由于采用虚功方法进行求解相比较而言容易一些，因此本课程中涉及到广义力的求解都是采用虚功方法。,65,例：如图示机构，求平衡时,机构自由度数为3，构件1、4、7运动定义为广义坐标，即,平衡时，在平衡位置的虚功为零，又广义力为零,可以求出三个未知数,分析：,66,例：五杆机构，取,构件1由控制，构件4由控制，件2、3由共同控制。,第二章两自由度机构动力学分析,2-1两自由度机构的运动分析,1.构件上某点速度：,上式也可以表示为：,分析：,称为类线速度（矢量）,67,的物理意义：,当时，的大小、方向即为的大小方向量纲由广义坐标决定,2.构件角速度,注意：角速度在平面机构中为标量，在空间机构中为矢量,如研究杆2、杆3：,不是传动比,第i个件对广义坐标1，2的类角速度（标量）,的物理意义？,68,2-2利用拉格朗日方程建立两自由度机构的动力学方程,拉格朗日方程：,一、惯性系数,求1个构件动能：,69,对于：,与和均相关件的质量和转动惯量才能计入，,则系统动能：,说明：,对于：,件i的运动必须与有关，,即与相关件的质量和转动惯量才能计入，,惯性系数,为正；,可为正、为负、为零。,70,例1：已知：求：,分析：广义坐标可以设为：,则：,则：,71,72,例2：已知差动轮系,轮2、3质量略，H转动惯量略。求：,分析：广义坐标可以设为：,则：,73,74,二、计算动能,用惯性系数表示的动能：,75,则拉氏方程为：,两个自由度的拉氏方程,76,例3：已知：,求：建立运动方程,分析：选广义坐标:,则：,求类线速度:,77,常数,78,求广义力：,方程：,此为二阶非线性微分方程，用数值解法求解。,79,例4：已知差动轮系中：,，各轮质量略。,分析：取广义坐标：,则：,求：,80,方法1：,方法2：,同理,求：,即H不动，则：,即1轮不动，则：,求：,81,计算广义力：,动力学方程：,差动轮系动力学方程，可以直接应用此结论式。,82,例5：已知：,重力略，建立运动方程。,分析：选广义坐标：,则：,83,计算广义力：,动力学方程：,84,达郎伯原理,虚位移原理,动普方程,拉格朗日方程,例,第三章多自由度机构的动力学分析,3-1拉格朗日方程,85,86,3-2多自由度机构的动力分析,一、运动关系,1、某构件运动与一个广义坐标相关,2、某构件运动与几个广义坐标相关,3、各构件在广义坐标下的表示,4、构件速度、角速度表示,5、构件质心的坐标、速度表示,类线速度,类角速度,87,二、系统动能,88,以平面4自由度为例(表格形式)：,89,90,的下标的含义：与i、j广义坐标同时有关的构件的等效质量或惯量。,如,以3自由度第3个方程为例：,91,空间任一运动的刚体,证明,92,如果质心速度为零，刚体动量也为零,根据转动惯量计算公式,93,系统动能：,三、系统势能,势能只与位置有关，即仅与广义坐标本身有关，因此在系统运动明确之后，势能也可求得，一般在拉格朗日方程中用“U”表示。,四、广义力,广义力一般用虚位移原理求得，如果系统仅有有势力做功，引入拉氏函数广义力为零（如一些震动系统）。引入拉氏函数后广义力不包括有势力,常见势能有哪些？,94,例1：如图，已知各转动惯量、力矩,其余略，求动力学方程,分析：系统自由度为：,设：,95,广义力用虚功原理求解,动能均为角速度(广义速度)的函数，,96,注：轮系中，一般类角速度是定值。所以有惯性系数为定值。,97,例2：如图，杆长已知，质心位置已知，各杆受力矩、转动惯量已知。建立系统动力学方程。,分析1：系统为平面N自由度开链机构，广义力为重力、外力矩和手爪部外力。,分析2：动能函数为质心速度、角速度函数，势能为广义坐标函数。,问题1：广义力如何求？,问题2：T或L函数的表达？,思考：动能、势能的广义力表达式,98,各杆转动部分仅与各自的广义坐标有关。,99,广义力:,通式:,100,例3：如图已知：,其余略，求动力学方程。,101,分析1：系统自由度数？,分析2：各构件与广义坐标关系,动力学方程：,102,分析3：计算类角速度。,103,系数如下：,104,分析4：系统广义力？,105,例4：一空间五自由度手臂动力学分析，机构如程序，机构简图见右侧，基本几何参数见右下，,分析：分析自由度数，广义坐标定义；描述运动学关系；选择动力学模型；模型关键部分求解；进行求解。,106,运动学齐次变换如下（混合法）,107,选择拉氏方程建立动力学模型,系统动能表示？系统势能表示？见程序,进行求解。（本问题为动力学逆问题，且为理想情况，选MATHEMATIC进行符号运算）结论见文件,空间多自由度问题特点：问题复杂，动力学模型选择非常关键，求解困难，多数为数值解,108,算例：这里设运动的初始位置各关节转角均为0度，运动的末位置分别为肩部-20度、大臂30度、小臂45度、腕部45度、手部90度，运动所经历的时间是10秒。由于一般运动规律都有加速阶段、近似匀速阶段和减速阶段，因此这里各关节采用正弦曲线的运动规律模拟关节转动。,109,一阶微分方程组数值解法4阶龙格库塔,Milne与Hamming（米尔尼公式与哈明公式）建立的预测-校正系统,110,广义力求法：,轮系类问题：,1、以为广义坐标求广义力,2、以为广义坐标求广义力,3、以为广义坐标求广义力,111,开式链杆系统类问题：,112,闭式多杆系统类问题：,求解方法：根据速度瞬心求解,虚位移,微小时间段,速比,瞬心,113,第四章考虑摩擦时的动力学分析,4-1利用机械效率进行动力学分析,一、典型实例：已知各轮转动惯量、力矩，动力分析?,分析：当无摩擦时，利用等效力学模型有：,则，微分方程为：,114,有摩擦时：以能量角度进行分析,即功率传到轮2损失一部分，进一步传递到轮3又损失一部分，后抵消阻力矩做功。,定义为有摩擦的等效力矩,定义为有摩擦的等效转动惯量,二、功率流当力的传递路线与功率流一致时乘以效率；当力的传递路线与功率流相反时除以效率。,115,注意：,首先确定功率流；,注意效率乘除关系；,注意正反行程可能效率不同；,有些没有效率可用但考虑摩擦的问题不适用本方法。,116,例1：已知如图,分析：无摩擦,分析：有摩擦,若等效力矩大于零功率流由1到2，否则反之。,注意：正向、逆向时等效惯量也不同。,117,例2：已知力矩如图均为驱动力矩,分析：无摩擦,分析：首先判断功率流向，即当1、2独立时，若1的角加速度大则功率由1流向2，否则反之。,分析：假设功率由1流向2，有：,118,例3：已知力矩如图均为驱动力矩,分析：首先判断功率流向，方法同上。最终流向可能是到1、2、3、4、5，共5种可能。,119,练习1：已知：,分析：首先判断功率流向。取3为等效件：,求有、无摩擦时轮3角加速度。,120,图示机构中，转动惯量为,若传动效率,求由静止启动到10秒时轮2的角速度？,练习2：,121,分析：无摩擦时,1、2拆开后：能量由2流向1,摩擦时,如果力矩1反向，结果？,122,4-2利用逐次逼近法进行动力学分析,定义：一种求方程(近似)解的方法。步骤：先取解的一个初始估计值,然后通过一系列的步骤逐步缩小估计值的误差，直到误差可以接受为止。,123,一、典型实例已知：,其余如图。1.求平衡且无摩擦时2.若B点f=0.2，轴径2cm，求,分析：无摩擦时，根据虚位移原理有：,1、先假设无摩擦时，求出B点约束反力。,124,、应用虚位移原理,、根据第一步方法求约束反力，,根据第二步方法求得：,、重复上一步计算,注意对于有摩擦的平衡问题，一般解是一范围值。,125,逐次逼近法计算过程（一般应用于逐次逼近法都是对考虑摩擦时的问题）：,首先进行无摩擦的系统计算，一般是应用虚位移、达朗伯原理等，求出目标理想值；,根据理想值引入摩擦后对系统进行校正，原理方法同，计算带有摩擦的校正惯性力、力矩，重新计算目标值；,重复过程，比较目标值的变化，直到目标计算精度符合要求为止。这里一般精度有两种，准确到几位有效数字和相对误差在一定百分比之内。,126,例：已知,分析1先假设无摩擦时,水平面运动，只考虑处转动摩擦，求。（设此时为初始启动位置）,可以看出，如果摩擦不影响运动的话力矩1为驱动力,127,分析根据达朗伯原理，有：,件,处约束反力方向如图，大小：,分析重复上一步,128,第五章考虑构件弹性时的动力学分析,前面在进行动力学分析时，都是认为目标系统的够构件是刚性的（弹簧除外，一般对弹簧的研究一般都是仅计弹性不计质量），对于大多数情况下这种假设是合理的。,随着机械向轻量化方面的发展，有一部分机构，构件的刚度降低弹性增加，即在运动过程中有必要对“柔性”加以考虑，研究“柔性”变化系统运动学、动力学的影响。（有精度要求，同时铰链等间隙也不得不考虑在内）,齿轮轮齿啮合过程中变形；凸轮机构中从动件受力变形；轴变形（振动）；空间并联柔性机器人变形；,5-1问题的提出,129,方法：有限元法和KED（kineto-elastodynamicanalysis）；Lagrange方程。,变形：,刚体：理论力学，机械原理，刚体动力学等。,小变形：材料力学，机械振动，弹性力学。,弹塑性变形：弹性力学-塑性力学(板壳)。,130,思路：一般境况下，系统中具有弹性变化的构件，如果不考虑构件内部的阻尼，即构件的弹性能可以类似于弹簧势能（质量除外），这时可以对系统引入一个弹性势能进行动力学研究。,根据以上思想可以采用如下拉格朗日方程形似：,5-2求解思路,131,问题：考虑构件弹性后，应用前面的拉格朗日方程广义力可以解决了，但是系统势能如何表示，即广义坐标如何变化？考虑系统中构件弹性后，弹性变形是受力、力矩、惯性力和构件形状的的影响，因此动力学问题将复杂化。在应用拉格朗日方程（拉氏方程最大的特点是从能量出发研究动力学问题，忽略不做功的约束和约束反力）时，对于弹性变化要谨慎对待。,一般对具有弹性变化的系统进行动力学研究时，都会对模型进行一定程度的简化，本课程的研究集中于单元杆横向变形、纵向变形和其组合时的问题。,132,5-3横向变形单元杆的动力学分析,一、单元杆均质，单位长质量为、长为l的杆，截面积A，弹性模量为E，有纵向分布力f（x，t）和其上C点集中力FC，节点力，其变形分别为。,分析：广义坐标可以设为,根据拉格朗日方程，需要求出系统动能、势能和广义力。这些量的计算与节点变形、杆变形有关，因此需要求出系统（单元杆）的变形方程。,133,考察系统（单元杆）的边界条件如下：,单元杆在节点上有两个边界条件，因此这里可以用一线性方程表示,134,二、单元杆的动能T,三、单元杆的弹性势能U,135,四、拉格朗日方程,矩阵形式：,136,五、广义力,虚功：,137,5-4纵向变形的单元杆的动力学分析,一、杆的参数均质，单位长质量为、长为l的杆，弹性模量为E，有横向分布力f（x，t）和其上C点集中力FC，节点力，其变形分别为。,分析：广义坐标可以设为,根据拉格朗日方程，需要求出系统动能、势能，这些量的计算与节点变形、杆变形有关，因此需要求出系统（单元杆）的变形方程。,138,考察系统（单元杆）的边界条件如下：,单元杆在节点上有四个边界条件，因此这里可以用一线性方程表示,139,二、单元杆的动能T,二、单元杆的弹性势能U,单元杆的横向变形是由剪切变形和弯曲变形共同作用。由于剪切变形