第四章积分变换法

在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么.-毕达哥拉斯,第四章积分变换法,1,在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的。例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一。积分变换在现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用。,2,对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解。积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途。尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解。利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变量法不能得到的。,3,特别是对于无界或半无界的定解问题，用积分变换来求解，最合适不过了。（注明：无界或半无界的定解问题也可以用第三章方法求解）,4,所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数,，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量,的积分）,变为另一函数类B中的函数,这里,是一个确,定的二元函数，通常称为该积分变换的核。,称为,的像函数或简称为像，,称为,的原函数。,在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的,；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在,偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程,A中所求的解，而且是显式解。,像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在,5,另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，就得到不同名称的积分变换:,称函数,为函数,的傅里叶（Fourier）变换，,简称,为函数,的傅氏变换同时我们称,为,的傅里叶逆变换。,6,（2）特别当核函数,（注意已将积分参变量,改写为变量,），当,，则,称函数,为函数,的拉普拉斯(Laplace)变换，简称,为函数,的拉氏变换同时我们称,为,的拉氏逆变换。,7,8,用积分变换求解定解问题的步骤为：,第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换；,对于自变量在,内变化的定解问题（如无界域,的坐标变量）常采用傅氏变换，而自变量在,内变化,的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换。,对于自变量在,9,第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程；,第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；,第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；,第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解。,1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。,傅立叶的两个最主要的贡献:,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,4.1傅里叶级数,10,1.傅里叶级数的引进在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如的波,其中是振幅,是角频率,是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.,（一）周期函数的傅里叶展开,非正弦周期函数:矩形波,不同频率正弦波逐个叠加,11,12,13,由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加,14,2三角级数三角函数系的正交性,三角级数,引例中的简谐振动函数,15,即:由三角函数组成的函项级数成为三角级数。,则(1)式右端的级数可改写为,(2),行如(2)式的级数称为三角级数。,三角函数系的正交性,(1)三角函数系,即,i),16,ii),iii),17,3函数展开成傅里叶级数,问题,1.若能展开,是什么?,2.展开的条件是什么?,傅里叶系数,18,可得,19,可得,可得,20,从而得到傅里叶系数,21,把以上得到的系数代入三角级数,问题:,该级数称为傅里叶级数,22,三角级数的收敛性定理:,若级数收敛,则级数,在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。,23,定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件),24,4正弦级数和余弦级数,一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项。,1.定理设是周期为的函数,且可积,则,25,证明,26,同理可证(2),2.定义,定理证毕。,27,非周期函数的周期性开拓,则有如下两种情况,注：,28,1.奇延拓,29,2.偶延拓,30,5周期函数的傅里叶展开,2l周期性,光滑函数，且定义域为则：,作为基本函数族，将,展开为傅里叶级数（即下式右端,级数）,则可取三角函数族：,31,三角函数组具有正交性,上式称为周期函数,的傅里叶级数展开式（简称傅,氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简称傅氏,系数）。,三角函数族是正交的即为：其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，即,32,其中,利用三角函数族的正交性，可以求得展开系数为,关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：,33,(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；,（2）在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛，,且,在收敛点有：,在间断点有：,狄利克雷（Dirichlet）定理:若函数,满足条件：,34,35,（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开,是奇函数,是偶函数,奇函数:f(z)则由傅里叶系数的计算公式可见，所有a0和ak均等于零,则有,偶函数:f(z)则由傅里叶系数的计算公式可见，所有b0和bk均等于零,则有,例,周期,矩形波,奇函数,36,37,（三）有限区间中的函数的傅里叶展开,f(x)定义于(0,l),可以认为它是某个周期为2l的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为g(x),在半周期(0,l)中g(x)=f(x)这种做法叫延拓。,例,偶延拓,奇延拓,38,4.2傅里叶积分与傅里叶变换,由高数知识知，一个以2l为周期的函数f(x)，若在区间-l,l函数满足狄利克莱条件，则在（-l,l）上可展开为傅氏级数。,傅里叶级数的形式为：,39,即：,因此f(x)也可表示为,对于非周期函数f(x)，若将其周期视为无穷大，同样可写出上式，只是此时,40,亦即,傅立叶积分公式,令,则,像函数,原函数,41,（三）傅里叶变换的基本性质,(1)线性性质,(2)导数（微分）性质,一般有,逆变换也有,42,(3)积分性质,(4)相似性质,(5)延迟性质,(6)位移性质,43,(7)卷积定理,卷积定理：,设,则,卷积定义：已知函数f1（x）和f2（x），则,(8)像函数的卷积定理,或,或,典型例题,解,所给函数是奇函数,其Fourier变换为,.,|,|,0,|,|,sin,2,d,1,sin,sin,|,|,0,|,|,sin,),(,1,0,2,=,-,=,+,p,p,p,w,w,w,wp,p,p,t,t,t,t,Fourier,t,t,t,t,f,并证明,变换,的,计算函数,例,44,再由Fourier积分公式得,45,46,解,所给函数是偶函数,其Fourier变换为,.,cos,2,d,cos,4,2,cos,),(,2,|,|,0,4,2,|,|,t,e,t,Fourier,t,e,t,f,t,t,-,+,-,=,+,+,=,p,w,w,w,w,并证明,变换,的,计算函数,例,47,48,再由Fourier积分公式得,49,50,51,4.3傅里叶变换法的应用,求解时确定变换种类的原则：,一般应用上：,傅式变换：无界的初值问题（针对空间变量）,拉式变换：带边界条件的定解问题（针对时间变量）,52,例1求解无限长弦的自由振动定解问题,53,解：（1）判断变换类型,初值问题傅式变换（拉式变换可能会差解常系数的条件）,（2）方程两边取傅式变换，并使用微分性质，得到,54,（3）对初始条件作傅式变换，得到,（4）求解（2）中得到的常微分方程，其通解为,代入初始条件可以解出,55,故有,（5）解的两边作傅式逆变换并利用位移性质及积分性质，得到,可以看出，此即为达朗贝尔公式！,56,例2求解无限长细杆的热传导问题,57,解：（1）判断变换类型,初值问题傅式变换,（2）方程两边取傅式变换，得到,58,（3）对初始条件作傅式变换，得到,（4）求解（2）中得到的常微分方程，其通解为,代入初始条件可以解出,故有,59,（5）解的两边作傅式逆变换，由卷积定理，得到,可以看出，此即为一维热传导方程的柏松公式！,拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分）是在19世纪末发展起来的。首先是英国工程师亥维赛德发明的，用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证。后来由法国数学家拉普拉斯给出了严密的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法。,60,4.4拉普拉斯变换,61,傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的，但在系统分析方面有不足之处：对时间函数限制严，是充分条件。不少函数不能直接按定义求，如增长的指数函数eata0，傅里叶变换就不存在。不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。求傅里叶反变换也比较麻烦。,（一）拉普拉斯变换的定义,62,为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一,个实函数,，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本条件。,首先将函数,乘以单位阶跃函数：,得到,，则根据傅氏变换理论有,很显然通过这样的处理，当,时，,在没有定,义的情况下问题得到了解决。但是仍然不能回避,在,上绝对可积的限制。为此，我们考虑到当,时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数,于是有,63,上式即可简写为,这是由实函数,通过一种新的变换得到的复变函数，,这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换。,为核.,64,拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊情况，双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。,65,定义设实函数,在,上有定义，且积分,（,为复参变量）,上某一范围,对复平面,收敛，则由这个积分所确定的函数,称为函数,的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为,像函数），记为,综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个,实自变量为,的复值函数，而拉氏变换的像函数则是一个复,变数,的复值函数，由前面推导过程可以看出，,66,的拉氏变换实际上就是,的傅氏变换,（其中,为单位阶跃函数），因此拉氏变换实质上就是,一种单边的广义傅氏变换，单边是指积分区间从0到,广义是指函数,要乘上,之后再,作傅氏变换,例1求拉氏变换,解在,(按照假设,)即为,的半平面，,67,同理有,例2求拉氏变换,解在,的半平面,68,例3求拉氏变换,为常数。,解在,的半平面上,69,解,同理,例4若,或,拉氏变换。,为实数），求,70,例5求拉氏变换,为常数.,解在,的半平面上，,同理,71,（二）拉氏变换的存在定理,定理拉氏变换存在定理,若函数,满足下述条件：,（1）当,时，,当,时，,在任一有限区间上分段连续；,（2）当,时，,的增长速度不超过某一,指数函数，即存在常数,及,，使得,则,在半平面,上存,在且解析。,72,为,的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为,原函数），记为,为了计算拉氏逆,变换的方便，下面给出拉氏逆变换的具体表达式。,实际上,的拉氏变换，就是,的傅氏变换。因此，当,满足傅氏,积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式，,在连续点处,（三）拉普拉斯逆变换,定义拉氏逆变换,若满足式：,，我们称,73,等式两端同乘,，并注意到这个因子与积分变量,无关，,故,时,令,，则有,74,上式为,的拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式。,记为,。并且,称为,的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为像原函数或,原函数）。,称为黎曼梅林反演公式，这就是从像函数求原函数的,上式右端的积分称为拉氏反演积分。公式,一般公式。,注意：公式,和公式,构成一对互逆的,积分变换公式，,75,(四)拉氏变换的性质,虽然，由拉氏变换的定义式可以求出一些常用函数的拉氏,我们约定需要取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的,条件。,变换但在实际应用中我们总结出一些规律：即拉氏变换的一,些基本性质。通过这些性质使得许多复杂计算简单化。,76,性质1线性定理,若,为任意常数，且,则,77,例1求,解,78,若设,为非负实数，,，又当,时，,，则,或,性质2位移定理,79,例2已知,，求,解用阶跃函数表示,再利用线性定理及位移定理，有,80,性质3延迟定理,，则有,其中,是,的增长指数。,81,设,例3求,解令,=,，则由,得,=,利用延迟定理,，即有,82,性质4相似定理,设,，则对于大于零,的常数,，有,83,性质5微分定理,存在且分段连