第二章-一阶微分方程的初等解法12课时VIP

第二章一阶微分方程的初等解法,2.1变量分离方程与变量变换,一、变量分离方程,形如,方程,称为变量分离方程.这里分别是的,连续函数.,变量分离方程的求解步骤:,1.分离变量,当时,将方程改写成,2.两边积分,由此式确定的函数就是方程的通解.,常数的取值必须保证上式有意义,如无特别声明,以后也作这样理解.,例1求解方程及,注:若存在,使得,则也是方程的解,可能它不包含在通解中,必须予以补上.,例2求方程的通解,其中是x的连续函数.,例3求解方程,例4求解初值问题,二、可化为变量分离方程的类型,1.齐次微分方程,的方程,称为齐次微分方程,这里是u的连续函数.,形如,求解方法:,故方程化为,(1)作变量代换(引入新变量),则,(2)解以上变量分离方程;,(3)变量还原.,例5求解方程,2.形如的方程,这里,均为常数.,分三种情形来讨论:,为齐次微分方程,可化为变量分离方程.,即,设,令,为变量分离方程.,例6求解方程,则方程可改写为,则有,(即)且不同时为零,则代表平面上两条相交的直线,设交,点为,做变量代换,则方程可化为,为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.,例9求解方程,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型,此外,诸如,(其中为的齐次函数,次数可以不相同)等一些方,程类型,均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.,例10求微分方程的通解.,常用,作业,教学总结,分方程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时,本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微,要注意对解的讨论.,2.2线性微分方程与常数变易法,一阶线性微分方程,在区间上可写成,这里假设在考虑的区间上是x的连续函数.,若,则方程(1)变为,(2)称为一阶齐次线性微分方程.,若,则方程(1)称为一阶非齐次线性微分,方程.,一、一阶非齐次线性微分方程的求解,1.求解对应的齐次线性微分方程,对应的齐次线性微分方程的通解为,为任意常数.,2.常数变易法求解非齐次线性方程,将常数c变易为x的函数,使为方,程的解.,令为方程的解,则,代入方程得,积分后得为任意常数,故方程的通解为,例1求方程的通解,这里n为,常数.,例2求方程的通解.,注:求非齐次线性微分方程(1)的通解可直接用公式,例3求初值问题的解.,二、伯努利(Bernoulli)方程,形如,的方程称为伯努利(Bernoulli)方程.这里是x,的连续函数,是常数.,利用变量变换将伯努利方程化为线性微分方程.,对于,用乘(3)两边,得到,引入变量变换,从而,代入上式得,线性微分方程,求出次方程的通解,然后代回原来的变量,便得到伯努,利方程(3)的通解.,注:当时,方程还有解,例4求方程的通解.,作业,教学总结,2.3恰当微分方程与积分因子,一、恰当方程的定义及条件,设是可微函数,则它的全微分为,如果我们恰好碰见了方程,就可以马上写出它的隐式解,1.恰当方程的定义,若有函数,使得,则称方程为恰当方程.,此时方程的通解为,如,都是恰当方程.,方程(1)是否为恰当方程?,若(1)是恰当方程,怎样求解?,若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?,2.方程为恰当方程的充要条件,定理1设函数和在一个区域内连续可微,则方程,是恰当方程的充分必要条件是,注:若为恰当方程,则其通解为,c为任意常数.,二、恰当方程的求解,1.不定积分法,判断方程是不是恰当方程,若是则进入下一步;,求,由求,例1求方程的通解.,2.分组凑微法,采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的,项分出来,再把余的项凑成全微分.,应熟记一些简单二元函数的全微分.,如,例1求方程的通解.,3.线积分法,由于,由曲线积分与路径无关的定理知,为某函数的全微分,即有函数,使得,从而方程为恰当方程.,这时取,则,从而的通解为,c为任意常数.,例1求方程的通解.,三、积分因子,非恰当方程如何求解?,变量分离方程:,不是恰当方程.,方程两边同乘以,得,恰当方程,一阶线性微分方程:,不是恰当方程.,方程两边同乘以,得,恰当方程,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.,如果存在非零连续可微函数,使得,为恰当方程,即存在函数v,使,则称是方程(1)的一个积分因子.,例2验证是方程,的一个积分因子,并求其通解.,定理微分方程,有一个仅依赖于x的积分因子的充分必要条件是,仅与x有关,这时方程(1)的积分因子为,(y),(y),其中,其中,例3求方程的通解.,例4求方程的通解.,例5求解方程,作业,教学总结,2.4一阶隐式微分方程与参数表示,一阶隐式方程,未能解出或比较复杂,采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型.,主要研究以下四种类型,定义对于微分方程,如果存在定义在,上的函数与,使得当时,有,则称是方程的参数,形式解.,同样可定义方程的参数形式通解为,一、可以解出y(或x)的方程,1.形如方程的解法,引入参数,则方程(2)变为,将(3)的两边对x求导数,得到,(i)若求得(4)的通解形式为,将它代入(3),即得,原方程(2)的通解为,c为任意常数.,例1求解方程,(ii)若求得(4)的通解形式为,则得(2)的参数形,式的通解为,其中p为参数,c为任意,常数.,例2求解方程,(iii)若求得(4)的通解形式为,则得(2)的参数,形式的通解为,其中p为参数,c为任意,常数.,2.形如方程的解法,这里假定函数有连续偏导数.,引入参数,则方程(2)变为,将(6)的两边对y求导数,得到,若求得(7)的通解形式为,则得(5)的参数形,式的通解为,其中p为参数,c为任意常数.,例2求解方程,二、不显含y(或x)的方程,1.形如方程的解法,这里假定函数有连续偏导数.,记,则方程(8)变为,几何上表示,平面上的一条曲线.,为参数,由于,设曲线用参数形式表示为,则,两边积分得,于是得到原方程参数形式的通解为,设,解题步骤:,则方程(8)变为,引入参数t,将用参数形式表示出来,即,为参数,将代入,并两边积分得,“关键一步也是最困难一步”,得到原方程参数形式的通