泛函分析初步课件

第二章泛函分析初步,泛函分析是现代数学的一个重要分支。它主要研究各类抽象空间的属性和空间与空间的相互关系。在数学中，通常把赋予某些数学结构的集合称为空间。,2-1引言,线性空间：,设X为非空集合，如果,对于X任意两元素x与y，均对应于X中一元素，称为x,y之和，记为x+y。,2.对于X中任一元素和任一实数,均对应X于中一元素，称为x与的数乘，记为。3.上述两种运算满足以下运算规律:（x,y,z为X中任意元素，为任意实数）,(1)(2)(3)X中存在唯一的零元素，它满足对任意的；且对任一，均存在唯一的“负元素”它满足。(4)(5)(6)(7)则称X是实线性空间。,例2-1-1n维空间，其元素x由n个有次序的数构成：，其中的加法和数乘如通常的方式定义：对于和及数，定义,则成为线性空间。,例2-1-2所有平方可和的无穷数列构成的集合,(2-1-1),是线性空间，其中加法和数乘定义为：若，定义(为数),例2-1-3所有在区间a，b上平方可积的函数构成的集合,(2-1-2),是线性空间。,应该注意，例2-1-2和例2-1-3中,必须证明由（或）可推出（或）及（或）。,作为举例，我们验证。为此，先证一个辅助不等式：,(为了具有广泛性，我们在复数情况下予以证明。)显然，对于任意复数，有,即,(2-1-4),现取则式(2-1-4)成为式(2-1-3)。不等式(2-1-3)常称为柯西-许瓦兹不等式。,现在来证明，由可推出。利用不等式(2-1-3),可得,故,例2-1-4在区间a,b上绝对可积的函数全体所构成的集合是线性空间，其中相加和数乘运算如通常那样定义。例2-1-5在区间a,b上连续的函数的全体所构成的集合C(a,b)是线性空间。,与线性代数中类似，可以在线性空间中引入线性相关、线性无关和基的概念。设是线性空间X中的n个元素，如果存在不全为零的常数，使得,(2-1-6),则称是线性相关的。反之，若由式(2-1-6)的成立能导致，则称是线性无关的。,如果线性空间X中存在n个线性无关的元素，使得X中任一元素x均可表为的线性组合,则称为X的一组基，n称为X的维数。记为。X称为有限维(n维)线性空间。不是有限维的线性空间称为无穷维线性空间。,信号或的能量通常可用：,2-2能量有限信号与线性赋范空间,来度量。,或,（2-2-1）,（2-2-2）,有限长离散信号即n维向量的能量定义为：,从几何上讲，量(2-2-3)是向量x的长度。于是，量(2-2-1)和量(2-2-2)是函数和序列的“长度”。这种“长度”或“能量”的概念被统一为“范数”来研究。,（2-2-3）,范数的定义：设X为线性空间，如果对于X中任一元素x都有一个实数与之对应，此实数记为，它具有如下性质：,(1)当且仅当时(2),为任意实数；(3),对任意的,则称为x的范数，X称为按范数的线形赋范空间。,例2-2-1在空间中定义范数,则是线性赋范空间。,(2-2-4),式(2-2-4)称为向量x的欧几里德范数。,例2-2-2在空间中定义范数,则是线性赋范空间。,(2-2-5),例2-2-3在空间中定义范数,则是线性赋范空间。,例2-2-4在空间中定义范数,则是线性赋范空间。,例2-2-5在空间中定义范数,则是线性赋范空间。事实上，性质(1)(2)是显然的。为了验证三角不等式，考察下列式子。对于任意的在a,b上连续的函数和，当时有,即,对任意的成立，于是,故,有了范数的概念，就可以引入极限的概念,对于线形赋范空间X的序列，说它收敛于X中的元素x（或的极限为x）,是指数列趋于零：,并记为,有了极限概念就引以进入完备性概念。,设X为线性赋范空间，是X中的元素序列，如果对任意的正数，总存在自然数N，使得当k,mN时恒有便称是柯西序列或基本列。,容易证明：一个收敛序列必定是柯西序列。柯西序列不一定是收敛序列。,如果线性赋范空间X中任一柯西序列都收敛，便称之为完备的线性赋范空间，或称为巴拿赫（Banach）空间。,2-3希尔伯特空间,内积空间：设X为实线性空间。如果对于X中任意两元素x和y，均有一个实数与之对应，此实数记为(x,y),它满足下列性质：,当且仅当时;，为任意实数；,则数（x,y）称为x和y的内积，X称为实内积空间（欧几里得空间）。,例2-3-1在n维实向量空间中，任意两个向量和的内积定义为,容易验证它满足内积的四条性质。,(2-3-1),也可定义内积为,(2-3-2),其中A为某一给定的阶对称正定矩阵。因此，与范数类似，同一线性空间可以引入多种内积。,例2-3-2所有矩阵组成的集合在通常的矩阵加法与数乘的运算下构成一个线性空间。矩阵的范数可视为一个mn维向量的范数：,(2-3-3),其中tr表示矩阵主对角线元素之和，称为矩阵的迹。两个矩阵A和B的内积定义为,(2-3-4),例2-3-3空间中的元素和的内积可定义为：,(2-3-5),例2-3-4空间中的元素和的内积可定义为：,(2-3-6),复内积空间：设U为复线性空间。如果对于U中任意两元素x和y，均有一个复数与之对应，此复数记为(x,y),它满足下列性质：,1）为非负实数：,当且仅当x=0时2）;3），为任意复数；4）,则称为x和y的内积，U称为复内积空间（酉空间）。,由内积的上述四个性质，可推出下列性质：,5）6）7）（柯西许瓦兹不等式）(当且仅当或x,y中有一为零元素时等号成立),内积空间必定是线性赋范空间。完备的内积空间称为希尔伯特空间。,8）内积的连续性若在范数意义下,9）若,则,10）在内积空间中，有,则,2-4投影定理及其应用,本节讨论内积空间中的最佳逼近问题.先考虑一个简单的例子：在三维空间中，给定一个平面M和一个点x（x在M外），要求在M上找一点，使得x到的距离是x到M上每一点的距离中最小者。用数学语言表达，就是：求，使得,或者说，求满足下列不等式：显然，应取x在M上的投影。其特征是：该结论可推广到一般的内积空间。,对任意的,(2-4-1),(2-4-2),投影定理:设X是内积空间，M是X中的子空间，但，则满足式(2-4-1)或式(2-4-2)的充分必要条件是式(2-4-3)的含意是：对任意的,均有满足式(2-4-3)的称为x在M中的投影。,(2-4-3),(2-4-4),满足式(2-4-1)或式(2-4-2)的称为x对于M的最佳逼近元。投影定理表明：在内积空间中，一个元素对于子空间M的最佳逼近元就是此元素在该子空间中的投影。,投影定理在理论和实践中都有着重要而广泛的应用，今后我们要经常应用它。,例2-4-1矛盾线性方程组的最小二乘解设A为矩阵，x是n维向量，b是m维向量，则是n个未知数m个线性方程的矩阵-向量表示。若A的列向量为：则式(2-4-5)又可写成,(2-4-5),(2-4-6),此式表明，线性方程组(2-4-5)有解的充分必要条件是向量b能表为A的列向量的线性组合，换句话说，就是,(2-4-7),记号表示向量组张成的子空间。现在设。则式(2-4-5)成为矛盾方程组。,所谓求解矛盾方程组(2-4-5),就是求，使得,(2-4-8),也就是求向量b在子空间中的投影，然后求解相容方程组,即,(2-4-9),根据投影定理，应满足即矛盾方程(2-4-5)的最佳解应满足,(2-4-10),此即,(2-4-11),此式等价于,(2-4-12),这就是所求的解x称为矛盾方程组(2-4-5)的最小二乘解应满足的关系式，称为法方程。如果矩阵非奇异(当线性无关时，必定为非奇异)，则矛盾方程组(2-4-5)的最小二乘解便为,(2-4-13),例2-4-2(信号拟合)设信号的采样值为已知，求形为K次多项,(2-4-14),(2-4-15),式的表达式，使得,这里，求的是。实际上，就是求线性方程组,的最小二乘解。方程(2-4-15)的矩阵-向量形式为其中,根据例2-4-1，最佳的c为,(2-4-16),下面讨论线形流形的最小范数元问题。设M是线形空间X的子空间，则集合称为X中的线性流形。,也就是说，线形流形是子空间的平移。在三维空间中，非平凡的子空间是过原点的平面或直线，而线形流形是任意的平面或直线。,现在来求线形流形的最小范数元。由下式知问题等价于求在M中的投影：,因此，有下列命题：设是内积空间X中的线形流形，则是中的最小范数元的充分必要条件是:,根据投影定理，投影应满足，此即,(2-4-17),可表为诸的线形组合：,代入式中得到：,其矩阵形式为,其中矩阵称为元素组,的格拉姆矩阵。,可以证明，当线形无关时G是非奇异的，于是,2-5傅里叶级数,设是中归一化正交系，即它满足,对于任意的,x在中的投影可表为：,再结合投影定理，可得,我们称为x关于正交系的傅里叶系数。如果k=n，这时，x在中的投影就是它自己，因此,它称为x在正交系的傅里叶级数展开式。,上述表明在有限维空间中，x关于的投影（最佳逼近元）是x关于的傅里叶级数展开式。这些事实在无穷维空间(或)中也有也有类似的推广。,定义：设是希尔伯特空间X中的归一化正交系。如果对X中的任一元素x，均有,则称正交系是完全的。下面两个命题指出了完全正交系的本质。,命题2-5-1设是希尔伯特空间X中的归一化正交系，则它是完全的充分必要条件是：若有一元素与每一都正交，则。,命题2-5-2设是希尔伯特空间X中的归一化正交系，则它是完全的充分必要条件是对于任一，均有,上式就是熟知的帕塞伐公式。这个命题指出了：一个信号的能量可以用其关于一个完全归一化正交系的傅里叶系数来表示。,2-6中的完全正交系,一、三角函数系二、指数函数系三、勒让德多项式系勒让德多项式是空间中的完全的归一化正交系四、哈尔函数系哈尔函数系是空间中的完全归一化正交系。,五、沃尔什函数系,沃尔什函数系有许多重要的性质：,(1)乘法公式,(2)完全归一化正交性(3)对称性及变号规律当n为奇数时，关于奇对称，当n为偶数时，关于偶对称。,在区间0，1）上的变号数恰为n。,(5)傅里叶级数设x(t)为1为周期且在0，1上平方可积，则可将x(t)展成沃尔什函数的傅里叶级数：,其中,(6)沃尔什函数的生成利用沃尔什函数的变号规律，可以很容易地生成任一标号的。,六、克利斯坦松(Chrestenson)函数系,克利斯坦松函数的性质很类似于沃尔什函数。例如：,(1)(2)(3)是复,空间中的完全归一化正交系。其正交性公式为,在泛函分析中，把一个空间X的元素变成另一个空间Y的元素的映射称为算子。严格地说，若集合中的每一个元素x均对应于Y中一个确定的元素y，就称这种对应关系确定了一个算子。算子常用大写字母T、A、来表示，记为或。,2-7算子的概念,的算子T称为线性算子。如果当时则称算子T是连续算子。可以验证，傅里叶变换是连续算子。,y称为x的象。集合D称为该算子的定义域。象的全体称为该算子的值域。,满足线性迭加原理,(2-7-4),例2-7-1,把一个周期函数展成傅里叶级数，这种傅里叶级数展开便确定了一个算子（记为F）。确切地说，若记以T为周期的平方可积函数全体为记，记平方可和双边无穷复序列全体为,则算子F把函数变为,这是因为根据帕塞伐公式,可推出,例2-7-2对于一个平方可和序列其频谱函数,是一个平方可和的复函数：,因此式(2-7-2)确定了一个从到,的算子。,例2-7-3通常的函数是从到的算子。,例2-7-6（投影算子）,设x为内积空间，M是X中由归一化正交系所生成的子空间。对于任意的，它在M中有唯一的投影,记，则P是从X到X的线性连续算子，称为X关于子空间的投影算子。值域是数集的算子称为泛函。,例2-7-7设X为希尔伯特空间。固定一个元素，则内积表达式(x,y)是X上的一个泛函。容易验证，这个泛函是线性连续的。,设X和Y为两个希尔伯特空间(实的或复的)，其内积分别用符号和表示。如果A是从X到Y的线性算子，且对任意的满足,2-8希尔伯特空间中的正交变换,则称A为从X到Y的正交算子或正交变换。换句话说，正交变换是保持范数不变的算子即保范算子。,命题2-8-1设，则存在，使得,为了简单，记,(2-8-3),(2-8-4),则式(2-8-3)可写成,式(2-8-4)所示的收敛性常称为平方收敛，并记为,命题2-8-1中的x(w)也称为x(t)的傅里叶变换。该命题表明此种傅里叶变换是由到的算子。显然它是线性的。,(2-8-6),下面这个命题表明这个算子是保范的。,命题2-8-2（帕塞伐公式）,设为命题中所述，则为命题2-8-1中所述，则,命题2-8-3（反演公式）,设，它的傅里叶变换为式(2-8-6)所示之X(w),则,根据这三个命题，上述傅里叶积分变换是由到的正交变换。,命题2-8-4,设X和Y为希尔伯特空间，其内积符号分别为和，A为从X到Y的线性算子，则A为正交变换的充分必要条件是对任意的，有,该定理表明保范性与保角性是等价的。,2-10卡享南-洛厄维变换,2-10-1随机信号的卡享南-洛厄维变换,首先介绍关于积分方程的一些知识。形为,(2-10-1),的方程称为齐次弗莱德霍姆积分方程。其中为未知函数，是参数，为已知的“核函数”，它定义在上，我们假定它是连续的，且是对称的：,使积分方程(2-10-1)有解的参数称为该方程的特征值，相应的解称为该方程的特征函数。下面罗列一些有关的结论：（1）如果核函数连续、对称、不恒等于零，则方程(2-10-1)的特征值特征函数存在。（2）如果核函数还是正定的，即对任意不恒为零的分段连续函数均有,(2-10-2),则特征值也是正的。（3）设是特征值，则相应的特征函数为构成归一化正交系：,且核函数可表为,(2-10-3),当连续、对称且正定时，式(2-10-3)的收敛是一致收敛。式(2-10-3)可以这样来理解：固定一个变量（例如t），则式(2-10-3)表示以s为变量的函数关于正交系的傅里叶级数展开，而傅里叶系数正好是,设为一随机