数学分析上册导数和微分5-5课件高等教育出版社第四版

一、微分的概念,5微分,若在有限增量公式中删去,高阶无穷小量项,则得关于的一个线性近,似式,这就是“微分”;其中的线性因子即为,四、微分在近似计算中的应用,三、高阶微分,二、微分的运算法则,导数.所以,微分和导数是一对相辅相成的概念.,返回,微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的,数.如果给边长x一个增量,正方形面积的增量,的线性部分和的高阶部分()2.因,此,当边长x增加一个微小量时,可用,一、微分的概念,由两部分组成:,设一边长为x的正方形,它的面积S=x2是x的函,线性部分,请先看一个具体例子.,的线性部分来近似.由此产生的误差是一个关于,的高阶无穷小量,即以为边长的小,正方形(如图).,可以表示成,定义5设函数如果增量,可微,并称为f在点处的微分,记作,其中A是与无关的常数,则称函数f在点,由定义,函数在点处的微分与增量只相差一个,关于的高阶无穷小量,而是的线性函数.,于是,定理5.10函数在点可微的充要条件是在,点可导,且,证(必要性)如果在点可微,据(1)式有,更通俗地说,是的线性近似.,即在点可导,且,(充分性)设在点处可导,则由的有限增量,公式说明函数增量可,且,表示为的线性部分,与关于的高,微分概念的几何解释,示于下图:,它是点P处切线相,在点的增量为,而微分是,应于的增量.,当很小时,两者之差相比于,将是更小的量(高阶无穷小).更由于,故若则得到,的高阶无穷小量.,若函数在区间上每一点都可微,则称是上,它既依赖于,也与有关.,的可微函数.,(4)式的写法会带来不少好处,首先可以把导数看,所以导数也称为微商.更多的好处将体现在后面,习惯上喜欢把写成,于是(3)式可改写成,这相当于的情形,此时显然有,(5),积分学部分中.,成函数的微分与自变量的微分之商,即,例1,由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则:,故运算法则4又可以写成,二、微分的运算法则,解,它在形式上与(4)式完全一样,不管是自变量还,例2求的微分.,立.这个性质称为“一阶微分形式不变性”.,是中间变量(另一个变量的可微函数),上式都成,的计算中,用了一阶微分形式不变性.,例3求的微分.,解,三、高阶微分,则当f二阶可导时,dy关于x的微分为,注由于与x无关,因此x的二阶微分,三者各不相同,不可混淆.,依次下去,可由阶微分求n阶微分:,对的n阶微分均称为高阶微分.高阶微分不,具有形式不变性.当x是自变量时,的二,阶微分是,为,例4,解法一,不一定为0,而当x为自变量时,由(6)得,解法二依(7)式得,四、微分在近似计算中的应用,1.函数值的近似计算,(9)式的几何意义是当x与x0充分接近时,可用点,故当很小时,有,由此得,记,即当时，(8)式可改写为,公式(9)分别用于sinx,tanx,ln(1+x),ex(x0=0),例5试求sin33o的近似值(保留三位有效数字).,解,由公式(9)得到,处的切线近似代替曲线,这种线性近,可得近似计算公式(试与等价无穷小相比较):,似的方法可以简化一些复杂的计算问题.,2.误差的估计,设数x是由测量得到的,y是由函数经过,果已知测量值x0的误差限为,即,算得到的y0=f(x0)也是y=f(x)的一个近似值.如,差,实际测得的值只是x的某个近似值x0.由x0计,计算得到.由于测量工具精度等原因,存在测量误,例6设测得