复变函数论1.1 1

,复变函数论,By王建Email:wjmath,多媒体教学课件,复变函数的应用背景,世界著名数学家M.Kline指出：19世纪最独特的创造是复变函数理论。象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了19世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为抽象科学中最和谐的理论。,4）应用于计算绕流问题中的压力、力矩。,5）应用于计算渗流问题。例如：大坝、钻井的浸润曲线。,6）应用于平面热传导问题、电(磁)场强度。例如：热炉中温度的计算。,最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。从而解决机翼的造型。,7）Laurent级数应用于数字信号处理。,8）积分变换也是复变函数的重要应用。,9）Laplace变换可以求解微积分方程。,积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。,利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。,10）Laplace变换应用于控制问题。,在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比。,11）Fourier变换应用于频谱分析。,12）Fourier变换应用于信号处理。,频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数，对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。,随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在频率域中的处理要方便得多。,第一讲,2011年2月22日,第一章复数与复变函数,第一节复数,第二节复平面上的点集,第三节复变函数,第四节复球面与无穷远点,第一节复数,1.复数域2.复平面3.复数的模与辅角4.复数的乘幂与方根5.共轭复数6.复数在几何上的应用举例,1.复数域,称非空集合F为域，如果F关于加法“”和乘法“”运算满足：(i)F关于加法“”成交换群;(ii)F0关于乘法“”也成交换群;(iii)F关于加法“”和乘法“”成立分配律,即(b+c)=b+c例如有理数全体Q和实数全体R都是域。,（1）域的概念：,（2）复数域概念:,复数：1835年，Hamilton给出如下定义：具有z=x+iy的形状，其中x和y是实数，i是虚数单位(i2=-1）。x和y分别称为z的实部和虚部，分别记作：,相等：z1=x1+iy1=z2=x2+iy2当且仅当x1=x2且y1=y2。复数是实数的推广：若Imz=0，则z是一个实数；特别0=0+i0,虚数：若Imz0，那么称z为一个虚数；纯虚数：若Imz0，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。,（3）复数的四则运算:,复数的四则运算定义为：,复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域(对加、减、乘、除运算封闭，零元0，单位元1），记为C，复数域可以看成实数域的扩张。,2.复平面:,复数域C也可以理解成平面R2，我们称C为复平面:作映射：,则在复数集C与平面R2之建立了一个1-1对应（双射）。平面上横坐标轴我们称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。,3.复数的模与辐角:,既然复数域C可以理解成平面R2,复数z=x+iy可以看成平面中的向量(x,y)，所以也能借助于极坐标来确定，实际上复数可以等同于平面中的向量等价类（在平移关系下）。,（2）非零复数z与实轴之间的夹角为其辐角，定义为：,（1）向量的长度称为复数的模，定义为：,（3）辐角主值的定义,注：z=0时，辐角无意义,z在第一、四象限argz=arctany/x，z在第二象限argz=arctany/x+，z在第三象限argz=arctany/x-.,第一、四象限,第二象限,第三象限,虚轴正向,虚轴负向,（5）复数的三角表示:,非零复数的三角形式(利用直角坐标与极坐标的关系)：,指数形式(利用数学分析中我们讲幂级数时介绍的欧拉公式)：,则z=r(cos+isin)=rei=|z|eiArgz（指数形式）,z=x+iy=rcos+irsin=r(cos+isin)=|z|(cosArgz+isinArgz)（三角表示）,利用复数的三角形式和指数形式，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法，设,由级数的乘法运算得到复变量指数函数的性质,特殊地有,则有,同理，对除法，也有：,其中后一个式子也应理解为集合相等。,（6）乘法、除法的几何意义,两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,(7)复数加减法的几何表示：,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.设z1、z2是两个复数，,(8)基本不等式:,关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：,4.复数的乘幂与方根：,（1）复数的乘幂：非零复数z的正整数次幂zn利用复数的三角表示以及指数表示，我们也可以考虑复数的乘幂：,（2）复数的方根：二项式方程wn=z的根的全体(n为大于2的整数）：,不同的值只有n个，比如取k=0,1,2,n-1时，可得n个不同的值，其余的依次n个数循环前n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，相邻辐角相差一个常数2/n，均匀分布于一个圆上。事实上，这n个不同的值可由w0，依次绕原点旋转,z,/n,w1,w2,w3,w4,w5,w0,注：复数的乘幂可以推广到有理数的情形。,注：求方根图示,2.求z的主辐角；,1.在平面上作出复数z；,解：由于,所以有,有四个根。,例1求所有值：,5.共轭复数,复数的共轭定义为：,例2设z1、z2是两个复数，证明：,例3设z1、z2是两个复数，求证：,6.复数在几何上的应用举例,(1)曲线的复数方程,解：设z在z1与z2的连线上，则,*例5作出过复平面C上过不共线三点a,b,c的圆的表示式。,注意到圆内接四边形的对角和为,并且任何一个外角都等于它的内对角。,解,其中，a,b,c,d是实常数。解：利用,例6试用复数表示圆的方程:,例7证明三角形内角和等于,(2)利用复数证明几何问题,证明,设三角形三个顶点分别为,对应的三个角分别为,于是,于是,所以,由于,同理可证,7.复球面与无穷大:,在三维空间(x,y,u)中把xOy面看作是z平面。考虑单位球面S：,取定球面上一点N(0,0,1)称为球极。我们可以建立一个复平面C到S-N之间的一个1-1对应（球极射影）：,我们称上面的映射为球极射影：,(x,y,0),(x,y,u),(0,0,1)三点共线x:y:-1=x:y:u-1;,8.无穷远点:,对应于球极射影为N，我们引入一个新的非正常复数称为无穷远点，称C为扩充,复平面，记为C.,注：关于无穷远