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3.7利用导数研究函数,提出问题：单调函数特征,单调函数特征,一、单调性,定理3.7.1,证明：,2.严格单调性,定理3.7.2,证明：,定理3.7.3,证明：,仅以一点为例:,有限个点类似,减,定理3.7.4,证明：,反证法,反证法,3.应用,例1,解：,例2.证明不等式:,原理:,证明：,证明：,证明：,证明：,方法,变形,选辅助函数;,可逐次使用,二、极值,1.必要条件,(2)不可导的点一定不是极值点？,例如：f(x)=lxl在点x=0。,(1)驻点(导数为0的点)一定是极值点？,(极值判定1),(极值判定2),极值点只能在“驻点”或“不可导点”处取得,2.极值点:“增减区间的分界点”,定理3.7.5,(极值判定1),例3.,解：,列表:,(极值点左右并不一定单调),在1和1之间振荡，,例,证明：,定理3.7.6,(极值判定2),例4.,解：,三、最值,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点，驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个最大就是最大值,哪个最小就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),例5.,解：,例6.,解：,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,四、凸函数与凹函数,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,1.凸函数凹函数,凸函数,x,y,1.凸函数(凹函数),定义:,2.Jensen不等式:,定理1：,定理2：,定理1的证明：,对严格凸类似可证;,3.判定,定理3：(判定1),证明：,定理4：(判定2),证明：,定理5：,4.应
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