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多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式f(x),g(x),是否有g(x)整除f(x)以及与此相关的多项式的最大公因式,多项式的因式分解等问题.在讨论一元多项式的整除性理论时,带余除法是一个重要定理,它给出了判断多项式g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法;并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项式根的理论基础.,1-3多项式的整除性和带余除法,带余除法定理:对于Px中任意两个多项式f(x)与g(x),其中(g(x)0,一定有Px中的多项式q(x)和r(x)存在,使得,Definition5.(整除的定义)称Px上的多项式g(x)整除f(x),如果存在Px上的多项式h(x),使得,g(x)0,g(x)f(x)等价于g(x)除f(x)的余式零.q(x)和r(x)的求法与中学的方法基本相同.在做除法时,可以分离系数,因为次多项式是由它的1个系数唯一确定的,(做除法时按降幂排列).,由定义不难看出1.零多项式被任意一个多项式整除;2.零多项式不能整除任意非零多项式;3.任意多项式一定整除它自身.4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式.当g(x)0时,由带余除法定理得到Theorem1.对于Px中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)0,则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.,整除性的几个常用性质:1.任一多项式f(x)都能被cf(x)整除2.如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),则f(x)=cg(x)(c0);3.如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),则f(x)|h(x);4.如果g(x)|f(x),则对任意多项式u(x)都有g(x)|u(x)f(x);5.如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意多项式u(x),v(x)都有f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x);,值得注意的是:多项式的整除不是运算,它是x元素间的一种关系,类似于实数集R元素间的大小关系,相等关系;多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的.即当数域扩充时,作为扩充后的数域上的多项式f(x)和g(x),g(x)除f(x)的商式和余式仍然是上面的q(x)和r(x).,为什么?,补充:综合除法,课堂小结,1.整除的概念及性质2.带余除法定理3.整除的定义及性质4.整除与带
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