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3.1.3空间向量的数量积运算,一、共线向量:,零向量与任意向量共线.,若P为A,B中点,则,2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使,推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有,平面向量的夹角：,平面向量的数量积的定义：,即,教学过程,一、几个概念,1）两个向量的夹角的定义,2）两个向量的数量积,注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。,3）射影,B,A,注意：是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。,4)空间向量的数量积性质,注意：性质2）是证明两向量垂直的依据；性质3）是求向量的长度（模）的依据；,对于非零向量，有：,5)空间向量的数量积满足的运算律,注意：,二、课堂练习,三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l,证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使,g=xm+yn,lg=xlm+ylnlm=0,ln=0lg=0lg这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l,例2：已知：在空间四边形OABC中,OABC，OBAC，求证：OCAB,巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理,例3如图，已知线段在平面内，线段，线段，线段，如果，求、之间的距离。,解：由，可知.由知.,例4已知在平行六面体中，,求对角线的长。,解：,1.已知线段、在平面内，线段，如果，求、之间的距离.,解：,2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是边的中点。求证：。,同理，,3.已知空间四边形，求证：。,证明：,4.如图，已知正方体，和相交于点，连结，求证：。,已知
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