系统性能指标和时域分析

第三章线性系统的时域分析法,黄昌琴编制hcq_yeu,第三章线性系统的时域分析法,3-1系统的性能指标3-2一阶系统的时域分析3-3二阶系统的时域分析3-4高阶系统的时域分析3-5线性系统的稳定性分析3-6线性系统的稳态误差计算,本节要点,了解高阶系统的阶跃响应。掌握高阶系统的闭环主导极点。掌握稳定的概念、定义和条件，劳斯稳定性判据的概念及计算方法。教学目标与学习向导对于高阶系统的分析是比较复杂的。在这一讲中，我们的目标不在于研究高阶系统的过渡过程本身，而在于通过对三阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程的讨论，引出闭环主导极点这一重要概念。以便将高阶系统在一定的条件下转为具有一对闭环主导极点的二阶系统进行分析研究。熟练掌握劳斯判据的计算公式。,34高阶系统的时域分析,1高阶系统的单位阶跃响应2高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析,在控制工程中，几乎所有的控制系统都是高阶系统，即用高阶微分方程描述的系统。对于不能用一、二阶系统近似的高阶系统，其动态性能指标的确定是比较复杂的。工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析。可应用MATLAB软件包进行高阶系统分析。,1高阶系统的单位阶跃响应,闭环传递函数为,（1）三阶系统的闭环零、极点对系统单位阶跃响应的影响,例35设三阶系统闭环传递函数为,试确定其单位阶跃响应。解：将已知的(s)进行因式分解，可得,由于R(s)=1/s，所以,其部分分式为,可以求出：,对部分分式进行拉氏反变换，设初始条件全部为零，得高阶系统单位阶跃响应,三阶系统的响应包含了：稳态响应分量（第一项）和动态响应分量（第二项的单调衰减项，第三项的振荡衰减项）。单位阶跃响应曲线如图326中实线所示。,若改变例35的闭环传递函数，使一闭环极点靠近虚轴，即令,增益因子变成0.625的改变是为了保持(0)不变。若改变例35闭环传递函数的零点位置，使零点靠近虚轴，即令,极点靠近虚轴后的响应,零点靠近虚轴后的响应,改变了响应的形状,改变了响应的类型和形状,显然，对于稳定的高阶系统，闭环极点负实部的绝对值越大，其对应的响应分量衰减得越迅速；反之，则衰减缓慢。系统时间响应的类型（如衰减振荡、单调变化）取决于闭环极点的性质和大小，系统时间响应的形状与闭环零点有关。,三阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为：,三阶系统闭环极点对过渡过程的影响,当01时，共轭极点起主导作用。因为共轭极点离虚轴近，衰减振荡项的衰减缓慢，长时间起作用；而由于p值大，单调衰减项的作用很快0。,1时，实极点起主导作用。0.2时可近似一阶系统。因为实极点离虚轴近，单调衰减项的衰减缓慢，长时间起作用；而由于n值大，衰减振荡项（共轭极点）的作用很快0。,通常，5时可近似为二阶系统。因为在上升时间tr之前，单调衰减项已经衰减完了，对之后的系统输出无影响。,=1时，实极点起和共轭极点同时起作用。此时的阶跃响应既振荡，又无超调量，是以指数规律为基准的振荡。,三阶系统闭环零点对过渡过程的影响,为了说明闭环零点对系统过渡过程的影响，在三阶系统中加入一个闭环零点，即：,（2）高阶系统的闭环零、极点对系统单位阶跃响应的影响,高阶系统闭环传递函数可表示为：,二阶因子引起的阻尼振荡,一阶因子引起的非周期指数衰减,高阶系统的单位阶跃响应表明：1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应叠加而成；响应式包含了稳态响应分量（第一项）和动态响应分量（第二项的单调衰减项，第三项的振荡衰减项）。2）如果所有闭环极点均具有负的实部，即所有闭环极点均位于s平面的左半平面，则随着时间的增加，所有模态均趋于零（对应瞬态分量），系统的单位阶跃响应最终稳定在c()=A0，因此系统是稳定的；,3）闭环极点的性质决定动态分量的类型（响应的类型、模态）：实数极点非周期动态分量；共轭复数极点振荡衰减动态分量。4）离虚轴最近的闭环极点对动态分量影响最大，决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快。,指数函数（自然常数e2.71828）,5）传函的部分分式系数与闭环零点、极点分布有关，所以，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。6）比较高阶系统与二阶系统的单位阶跃响应，可得结论：,高阶系统与二阶系统在单位阶跃函数作用下的响应过程的稳态分量均为常数。两个响应式都包含正弦衰减项，这是因为高阶系统与二阶系统都有共轭复数闭环极点。高阶系统响应比二阶系统响应多了指数衰减项，指数衰减项对高阶系统的影响是：使最大超调量减小，使过渡过程时间增加。,高阶系统闭环极点对过渡过程影响的结论,控制系统的暂态分量是由闭环极点造成的。对于一个稳定的高阶系统，如果有n个闭环极点，则过渡过程对于的输出具有n项暂态分量。当时间t时，暂态分量全部0。某一项暂态分量对过渡过程的影响，主要取决于造成该项暂态分量的闭环极点距离虚轴的远近程度。由此，就引出了闭环主导极点的概念。,2高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析,如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点，其周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点就称为闭环主导极点。假设n阶系统中，闭环主导极点与虚轴的距离为1，其他极点距离虚轴的距离为i（i=2,3,n），则i51。,闭环主导极点常以一对共轭复数极点的形式出现。,闭环主导极点可以是实数极点，也可以是复数极点，或者是它们的组合。除闭环主导极点外，所有其他闭环极点由于其对应的响应分量随时间的推移而迅速衰减，对系统的时间响应过程影响甚微，因而统称为非主导极点。在控制工程实践中，通常要求控制系统既具有较快的响应速度，又具有一定的阻尼程度，此外，还要求减少死区、间隙和库仑摩擦等非线性因素对系统性能的影响。因此高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭主导极点。这时，可以用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的动态性能。,结论（了解）：由一阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程分析可知，当取=2%时，极点s1=-p单独引起的过渡过程暂态分量的衰减时间为：,由二阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程分析可知，以共轭复数极点s1、s2引起的过渡过程暂态分量的衰减时间为：,所以，ts3=0.2ts1。,例3-6已知某系统的闭环传递函数为,解：改写系统的闭环传递函数，可得,极点为s2+s+1=0,该四阶系统可近似成如下的二阶系统：,闭环零点、闭环非主导极点的影响,1）闭环零点影响能够减小峰值时间，使系统响应速度加快，超调量增大。这表明闭环零点会减小系统阻尼，并且这种作用将随闭环零点接近虚轴而加剧。因此，配置闭环零点时，要折中考虑闭环零点对系统响应速度和阻尼程度的影响。2）闭环非主导极点影响能够增大峰值时间，使系统响应速度变缓；但可以使超调量减小。这表明闭环非主导极点可以增大系统阻尼，且这种作用将随闭环极点接近虚轴而加剧。3）若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响会相互削弱。,3-5线性系统的稳定性分析,1稳定性的基本概念2线性系统稳定的充分必要条件3劳斯稳定判据4.劳斯稳定判据的特殊情况5.劳斯稳定判据的应用,稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。,1稳定性的基本概念,若线性控制系统在初始扰动（偏差）的影响下，其动态过程随时间的推移，逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），具有恢复原平衡状态的性质，则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。,注意：稳定性是控制系统自身的固有特性。对纯线性系统来说，系统稳定与否与初始扰动（偏差）的大小无关。但在实际中，不存在纯线性的控制系统，所以，我们研究的线性系统大部分都是经过小偏差线性化处理后的系统，而上述稳定性的概念只是小偏差的稳定，因此，要求初始扰动（偏差）在系统中引起的变化不超过其线性化的范围。这是约束条件。,2线性系统稳定的充分必要条件,从系统的单位阶跃响应式不难看出，欲满足稳定的条件，即t时，系统单位阶跃响应的动态分量为零，必须使系统的特征根全部具有负实部，即：,线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。系统的特征方程的根就是闭环极点，所以线性系统稳定的充分必要条件又可以说是：闭环传递函数的极点均具有负实部。或说，闭环传递函数的极点均位于s平面的左半平面。,3劳斯稳定判据,劳斯于1877年提出了判断系统稳定性的代数判据，称为劳斯稳定判据。这种判据以线性系统特征方程的系数为依据。,线性系统稳定的必要条件是：在特征多项式中，所有系数均不为零，且具有相同的符号，。,劳斯判据：,劳斯表：,劳斯稳定性判据：,系统稳定的充要条件是：劳斯行列表（简称劳斯表）中左边第一列的所有元素均为正值；反之，如果第一列的元素出现负值，则系统不稳定，且第一列各元素符号改变的次数，代表特征方程具有正实部根的数目。,例题：,所以系统不稳，且有两个正实部根。,1,5,-6,5,4劳斯稳定判据的特殊情况,（1）劳斯表中某行的第一列项为零，而其余各项不为零，或不全为零。,劳斯表,此时，劳斯稳定判据失效。,可以用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯稳定判据。上例中，以（s+3）乘以原特征方程，得新特征方程为：,第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部根。,（2）劳斯表中出现全零行,这种情况表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根。例如，两个大小相等但符号相反的实根和（或）一对共轭纯虚根，或者是对称于实轴的两对共轭复根。,例38已知系统特征方程为,解：劳斯表,由于出现全零行，故用s4行系数构造辅助方程。,辅助方程：,将辅助方程对变量s的导数，得导数方程：,劳斯表,系统不稳定，且有一个正实部根。,5劳斯稳定判据的应用,在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系统的稳定性。如果系统不稳定，则这种判据并不能直接指出使系统稳定的方法；如果系统稳定，则劳斯判据也不能保证系统具备满意的动态性能