数学人教版九年级上册垂径定理课件.ppt

24.1.2垂径定理,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,3.2圆的对称性,圆是轴对称图形吗？,如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,你是用什么方法解决上述问题的?,圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,可利用折叠的方法即可解决上述问题.,圆的相关概念,圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.,直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).,连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).,经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).,D,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,活动二,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2）线段：AE=BE,垂径定理,连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.,符号语言,图形语言,（1）如何证明？,探究：,已知：如图，CD是O的直径，AB为弦，且AE=BE.,证明：连接OA，OB，则OA=OB,AE=BE,CDAB,OE=OE,OAEOBE,垂径定理推论,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。,CDAB,CD是直径，,AE=BE,O,A,B,C,D,E,中,（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,练习,答：O的半径为5cm.,在RtAOE中,解AEBE,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,证明：AEBE，,ODAB，,ABAC,课堂讨论,根据已知条件进行推导：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对优弧平分弦所对劣弧,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。,只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.,1.判断：,()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,()(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.,()(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.,()(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.,1.已知P为O内一点，且OP2cm，如果O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于.,2.过O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦长为2厘米，则OM的长是多少？,O,M,A,2、如图，点P是半径为5cm的O内一点，且OP=3cm,则过P点的弦中，（1）最长的弦=cm（2）最短的弦=cm,巩固：,A,O,C,D,5,4,P,3,B,10,8,1.过o内一点M的最长的弦长为10,最短弦长为8,那么o的半径是,2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么C到AB的距离等于,3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距离为1,那么O的半径为,4.如图,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=,B,A,M,C,O,N,5,1或9,6,4,Cm,归纳：已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，即可根据勾股定理求出另外的两个量。,已知O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。,E,E,D,D,练习,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,解得：R279（m）,解决求赵州桥拱半径的问题,在RtOAD中，由勾股定理，得,即R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2