离散卡尔曼滤波ppt课件

卡尔曼滤波,TheoryofKalmanfilter,1,1卡尔曼滤波与最优估计,卡尔曼滤波是一种最优估计技术！,它能将仅与部分状态有关的测量值进行处理，得出从某种统计意义上讲估计误差最小的更多的状态的估计值。,估计误差最小的标准称为估计准则。,根据不同的估计准则和估计计算方法，有各种不同的最优估计。,卡尔曼滤波是一种递推线性最小方差估计。,2,1.1最小方差估计,最小方差估计的估计准则是估计的均方误差最小，即：,系统的n维随机向量,Z是m维随机量测向量,利用Z计算得到的X的最小方差估值,估计的误差,估计均方差阵,最小方差估计的误差小于等于其他估计的均方误差!,3,估计的均方误差就是估计误差的方差，即：,最小方差估计具有无偏性质，即它的估计误差（亦可用表示）的均值为零。即：,因此，最小方差估计不但使估值的均方误差最小，而且这种最小的均方误差就是估计的误差方差,4,1.2线性最小方差估计,如果将估值规定为量测矢量Z的线性函数，即,使得下述指标满足式中A和b分别是（nm）阶和n维的矩阵和矢量。这样的估计方法称为线性最小方差估计，有时用符号E*X/Z表示。,5,有关量测量Z的线性函数有无穷多个，但能使X具有最小方差估计的线性函数只有一个，记为,利用上述的指标我们可以得出A0和b0，,6,因此X在Z上的线性最小方差估计为,线性最小方差估计的均方误差为,7,1.2.1线性最小方差估计的性质,性质1无偏性线性最小方差估计是X在Z上的无偏估计，即,性质2线性1线性最小方差估计是具有线性性质，即若X的线性最小方差估计为，则的线性最小方差估计为,8,其中F为确定性矩阵，e为确定性向量。,性质3线性2若Y与Z不相关，则,9,1.3递推线性最小方差估计卡尔曼滤波,卡尔曼滤波的准则与线性最小方差估计相同,估值同样是量测值的线性函数,只要包括初始值在内的滤波器初值选择正确，它的估值也是无偏的,计算方法递推形式,10,在k时刻以前估值的基础上，根据k时刻的量测值Zk,递推得到k时刻的状态估计值：,根据k-1时刻以前所有的量测值得到,X（k）也可以说是综合利用k时刻以前的所有量测值得到的,一次仅处理一个量测量计算量大大减小,主要适用于线性动态系统！,11,2卡尔曼滤波方程,2.1离散系统的数学描述,设离散化后的系统状态方程和量测方程分别为：,Xk为k时刻的n维状态向量（被估计量）,Zk为k时刻的m维量测向量,k-1到k时刻的系统一步状态转移矩阵（nn阶）,Wk-1为k-1时刻的系统噪声（r维）,k-1为系统噪声矩阵（nr阶）,Hk为k时刻系统量测矩阵（mn阶）,Vk为k时刻m维量测噪声,12,Qk和Rk分别称为系统噪声和量测噪声的方差矩阵，在卡尔曼滤波中要求它们分别是已知值的非负定阵和正定阵；,kj是Kronecker函数，即：,卡尔曼滤波要求Wk和Vk是互不相关的零均值的白噪声序列，有：,13,Var为对求方差的符号,卡尔曼滤波要求mx0和Cx0为已知量，,初始状态的一、二阶统计特性为：,且要求X0与Wk和Vk都不相关,14,2.2离散卡尔曼滤波方程,或,15,2.2离散卡尔曼滤波方程,时间修正方程,量测修正方程,16,（1）状态一步预测方程,各滤波方程的物理意义：,Xk-1的卡尔曼滤波估值,利用Xk-1计算得到的一步预测,也可以认为是利用k-1时刻和以前时刻的量测值得到的Xk的一步预测,17,上式就是通过计算新息，把估计出来，并左乘一个系数矩阵加到中，从而得到估值和，称为滤波增益矩阵,（2）状态估值计算方程,计算估值Xk的方程。它是在一步预测Xk/k-1的基础上，根据量测值Zk计算出来的,一步预测误差,若把看作是量测的一步预测，则就是量测的一步预测误差,由两部分组成：和，正是在基础上估计所需信息，因此又称为新息,18,由于也具有无偏性，即的均值为零，所以也称为一步预测误差方差阵。上式中的和分别就是新息中的两部分内容,（3）滤波增益方程,一步预测均方差阵，即：,Kk选取的标准就是卡尔曼滤波的估计准则，也就是使得均方误差阵最小：,如果Rk大，Kk就小Rk小，Kk就大,19,（4）一步预测均方误差方程,从下式可以看出，求Kk必须先求出Pk/k-1,式中，为的估计误差，可以看出一步预测均方误差阵Pk/k-1是从估计均方误差阵Pk-1转移过来的，并且再加上系统噪声方差的影响。,的均方误差阵，即：,20,（5）估计均方误差方程,或,计算量小，但在计算机有舍入误差的条件下，不能始终保证算出的Pk是对称的,21,（6）卡尔曼滤波的计算流程,滤波计算回路,增益计算回路,22,2.3离散卡尔曼滤波基本方程使用要点,在滤波开始时，必须有初始值和才能进行,为了保证估值的无偏性，应选择：,这样才能保证估计均方差阵Pk始终最小。,1.滤波初值的选取,23,有上述的卡尔曼滤波基本方程中的均方误差的公式,2.估计均方误差阵的等价形式及选用,（a）,（b）,（c）,24,由卡尔曼滤波方程的推导得知，基本方程只适用于系统方程和量测方程都是离散型的情况。但实际的物理系统一般都是连续的，动力学特性用连续的微分方程来描述。所以在使用卡尔曼基本方程之前，必须对系统方程和量测方程进行离散化处理。设描述物理系统动力特性的系统方程为,3.一步转移阵和等效离散系统噪声方差阵的计算,其中系统驱动源W（t）为白噪声过程，即,25,q为w（t）的方差强度矩阵。,根据线性系统理论，系统方程的离散化形式为,其中，满足方程,26,对该方程求解并进行约等变化，得,式中T为滤波周期。这个式子即为一步转移矩阵的实时计算公式。,同样，通过系统的离散化处理，得出等效离散系统噪声方差阵,27,一步预测方程改为：,状态估计方程改为：,其他滤波方程不变,4.系统有确定性控制时的滤波基本方程,设系统除了白噪声外，还有确定性驱动项,28,5.一步预测基本方程,令,一步预测基本方程式指利用递推计算的全套方程。根据基本方程的一步预测方程得,29,则,从而也可以得到均方误差,30,例1设有线定常系统,式中状态变量Xk和量测Zk均为标量，为常数。Wk和Vk为零均值白噪声序列，分别具有协方差,并且Wk，Vk，X0三者互不相关。求的递推方程。,31,32,例2-滤波设运动体沿某一直线运动，tk时刻的位移、速度、加