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第八讲 韦达定理（2）【一元二次方程根与系数的关系】设一元二次方程的两根为，则反之，若两数满足，则这两数是方程的两根。【一元二次方程根与系数的关系的应用】利用根与系数的关系求解的问题大致有以下几个方面：1) 已知方程的一个根，求方程的另一个根以及确定方程参数的值；2) 已知两数，求作以这两数为根的一元二次方程；3) 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；4) 当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看成是某个一元二次方程的两根，以便利用根与系数的关系。【韦达定理加深】1. 已知、是关于的方程的两个根，且，则的值是 .解：设为、是方程的根， ，而，所以，解得.2. 设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则 .解：2000.3. 已知方程两根分别比方程的两根多2，则m为 ， .解：设方程两根、，则另一方程两根为、.，；，.解方程得，所以，。经检验，符合题意。4. 已知方程的两根的绝对值相等，则这个方程的根是 .解：设方程两根为、，则可得到，则根与系数关系，可得，所以，所以或（无解）。，此时，即两根为.5. 若方程的两个实数根互为相反数，则 .解：设方程两个根、，由题意，.因为两根相互为相反数，则，所以，只能取.6. 已知方程的两根之差为8，两根的算术平均数是5，则方程的根是 .解：设方程的两根为、，不妨设。由已知，可解得，.由韦达定理得，即，代入方程，并整理得，从而可得，.7. 关于的方程的两实数根之积是两实数根之和的2倍，则 .解：设方程两根为、，则，由题意，即. ，、。又因为，所以，所以.8. 若方程的两根之差为1，试求的值。解：设两根为，则，即，9. 已知、为方程的两个不相等的实数根，且是负整数，则的值是 .解：因为原方程有两个不等的实数根，所以，所以。又因为为负整数，所以，所以原方程式就是，所以，所以，所以.10. 已知方程的两根之比为3：4，判别式为，解此方程.解：设方程的根为、，则，所以。当时，；当时，.【根的分布】11. 当为何值时，方程的两根满足：（1）都为正根；（2）两根异号，且负根的绝对值大于正根的绝对值；（3）两根都大于-1；（4）两根中一个大于-1，另一个小于-1.解：（1）若使方程两根均为正数，只需，即，可得.当时，方程两根均为正根；（2），即，可得；（3），即，可得；（4），即，可得.1. 关于的方程，当为何值时，方程的两根互为相反数；当为何值时，方程的两根互为倒数；当为何值时，方程有一根为？解：。，当时，或2. 设是方程的两个根，求的值。1. 关于的一元二次方程一个根为另一根的平方，求证：.解：设、为方程的两根，由已知得，即，从而得.2. 已知方程的两个实数根的倒数之和为S，求S的取值范围.解：设方程的根为、，则，。由题意所以。因为，即且，所以且，即且.3. 若方程有两个正的实数根，则其中系数应满足的条件是 . 解：4. 若关于的方程有两个正数根，求的取值范围。解：设为方程的两个正数根（），由题意可知
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