12 正、反比例函数图像与性质一教师

第十二讲 正、反比例函数的图像与性质（一）【知识点归纳】1. 如果两个量的比等于一个不为零的常数，那么就说这两个量成正比例.2. 函数（是不等于零的常数）叫做正比例函数，叫做比例系数.3. 求正比例函数解析式的两种方法：（1）直接根据已知的比例系数列出正比例函数解析式（2）待定系数法4. 正比例函数的性质(1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限 ；自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐增大. (2)当时，正比例函数的图像经过第二、四象限 ；自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐减小.【概念引入】1. 判断下列问题中的两个变量是否成正比例，为什么？(1)正方形的周长与边长(2)商一定（不为零），被除数与除数(3)圆的面积与该圆半径(4)一个人的体重与年龄(5)路程一定，速度与时间(6)等腰三角形的周长一定，它的腰长与它的底边长(7)正方形的边长为，是边上一点，的长与的面积.(8)从地面到高空千米处，高度每增加千米，气温就下降摄氏度.某地的地面气温是摄氏度，在千米以下的空中，空中某处离地面的高度（千米）和气温（摄氏度）解：（1）（2）（7）成正比例.理由略.2. 问题探究：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？（1）一辆汽车以千米/小时的速度匀速行驶， 行驶的路程(千米)随时间（小时）的变化而变化。（2）每个练习本的厚度为，一些练习本摞在一起的总厚度（单位：）随这些练习本的本数的变化而变化；（3）圆的周长随半径的大小变化而变化：解： （1） （2） （3） 总结：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数. (注意：的次数为1，函数解析式中常数项为零)3. 下列函数（其中是自变量）中，哪些是正比例函数，比例系数是多大？哪些不是，为什么？（1） （2）（3） （4）（5）； （6）； （7）； （8）； 解：（1）（5）（6）是正比例函数.4. 想一想，根据正比例函数的特征填空：当时，函数是正比例函数.当时，函数是正比例函数.当时，函数是正比例函数.解：5. 若函数是正比例函数，求的值解：由题知：，【函数图像及性质】例：画出下列正比例函数的图像 解：如正比例函数，（1）列表：取自变量的一些值，根据正比例函数的解析式，填表-3-2-10123（2）描点 （3）连线 （4）在图象上写解析式：“直线”.（图略） 总结：我们发现正比例函数图象是一条直线， 且经过原点。 由于只需两点就可确定直线。 强调： 以后画正比例函数图象时，我们可以取两点（0,0）和（1，），再连直线。【也经常根据具体解析式取整数点， 例如, 可取（0, 0）和（5， 2）】练一练： 在同一坐标系内分别画出， 的图象。归纳图像特征： （1） 一定经过原点的一条直线。（2） 时， 经过一、三象限； 时， 经过二、四象限。（3） 时，（从左到右看）图象是上升的直线；时，（从左到右看）图象是下降的直线。（4） 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小。1. 正比例函数的图像是 一条直线 ，它一定经过点 （0，0） 和 （1，） .（1）若比例系数为，则函数关系式为_ _；此时图像经过_第二、四_象限，且随的增大而_减小_（2）若点经过（5，1），则函数关系式_ _此时点（3，4） 不在 （填在或不在）这个正比例函数的图像上.若点P（，-2）在此函数图像上，则-10_2. 已知与成正比例，与成正比例，则与是什么关系？解:设 ，则，所以与成正比例.3. 已知正比例函数的图像经过点，求正比例函数的解析式解：设所求解析式为：，因为正比例函数的图像经过点，所求解析式为：4. 已知正比例函数的图像过点（），（），求的值.解： 设正比例函数的解析式为 把代入得， 把代入，。 答：的值为9.5. 已知，与成正比例，与成正比例，并且当时，；当时，.求与之间的函数解析式.解：设 则把，代入得 把，代入得 由解得所以6. 在函数的图像上取一点，过点作轴于点，已知点的横坐标为，求的面积（为坐标原点）解：由题知：点，点，7. 已知正比例函数的图像过,点在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点，且，求点的坐标。解：因为正比例函数的图像过，可求得正比例函数的解析式为：，设点，即，解得，即，解得，8. 如图，在直角坐标系中，有矩形，且点，正比例函数的图像把矩形的面积分成相等的两部分，求该正比例函数的解析式 解：因为正比例函数的图像把矩形的面积分成相等的两部分，所以正比例函数的图像必过矩形对角线的交点，由点，及中点公式可求得点，设正比例函数的解析式为：，将点代入可得：。1. 已知是的正比例函数，且当时，.求与之间的比例系数 写出函数的解析式和函数定义域 求时，的值.若与成正比例，其他条件不变，则与的函数解析式又怎样？解：k=8y=8x (x为全体实数)时代入得=2若y-1与x成正比例，其他条件不变，则设,把时，代入得，所以2. 已知，与成正比例，与成正比例，且当时，当时，.求与的函数解析式.解：设把，代入得 把，代入得 由解得， 所以1. 有一个物体沿一个斜坡下滑，它们速度y（米/秒）与其下滑时间x（秒）的关系如图所示则y与x之间的关系式是y=2.5x ，当物体下滑3秒时，速度是7.5米/秒. 2. 已知是的正比例函数，比例系数是3.求关于的函数解析式和当分别取，0时的函数值.解：因为，所以当=-10时，=-30;当=0时，=0.答：关于的函数解析式为.当分别取-10，0时的函数值分别为-30，0.3. 在水管放水的过程中，放水的时间（分）与流出的水量（立方米）是两个变量.已知水管