《微积分一》边际分析与弹性分析.ppt

4.8变化率及相对变化率在经济中的应用,二、函数变化率边际,一、常用经济函数,三、函数的相对变化率弹性,一、常用经济函数,1.需求函数与供给函数,含义：消费者对某种商品的需求量.,通常降低商品的价格会使需求量增加，提高价格会使需求量减少因此需求函数是单调递减函数.,含义：生产商向市场提供的商品的数量.,(2)供给函数,通常降低商品的价格会使供给量增加，提高价格会使供给量减少因此供给函数是单调递增函数.,市场上需求量与供给量相等时的价格此时的需求量与供给量称为均衡商品量一般来说市场上的商品价格是围绕均衡价格摆动的,例1（1）设某电子产品的月销售量是价格的线性函数当价格为580元时，每月售出800件；当价格为680元时，每月售出600件.试求需求函数；（2）该电子产品供应商每月向商场供给量也是价格的线性函数当价格为580元时，每月提供800件；当价格为680元时，每月多提供100件，试求供给函数.,解：,解,例2设某商品的需求函数为QbaP(a、b0)供给函数为QcPd(c、d0)求均衡价格P0,令baP0cP0d,2.成本函数、收益函数、利润函数,总成本总成本是生产一定数量的产品所需的费用总额,个单位产品时的平均成本为：,平均成本平均成本是生产一定量产品平均每单位产品的成本,求当Q10时的总成本及平均成本,解,当Q10时总成本为C(10)125平均成本为C(10)125,总收益函数为：,销售100个商品时的总收益为：,解,(3)利润函数,总利润为：,解,在点xx0处当x1时有ydyf(x0)xf(x0)这说明当x产生一个单位的改变时y近似改变f(x0)个单位,二、函数变化率边际,边际函数设函数yf(x)是可导的则导函数f(x)称为边际函数,分析,在应用问题中解释边际的具体意义时我们略去“近似”二字,边际函数设函数yf(x)是可导的则导函数f(x)称为边际函数,例6函数yx2y2x在点x10处的边际函数值y(10)20它表示当x10时x改变一个单位y(近似)改变20个单位,（2）边际供给,边际分析(利用边际函数来进行分析),（1）边际需求,表示销售第(q+1)个产品的收入.,（4）边际收益,表示生产第(q+1)个产品的成本.,（3）边际成本,（5）边际利润,表示销售第(q+1)个产品所增加的利润.,解：,生产了50个产品后应该继续生产吗？,最大利润原则设R(Q)为收益函数C(Q)为成本函数则：取得最大利润的必要条件为边际收益等于边际成本即R(Q)C(Q)取得最大利润的充分条件为边际收益的变化率小于边际成本的变化率即R(Q)C(Q),设总利润为L则LL(Q)R(Q)C(Q)L(Q)R(Q)C(Q)L(Q)R(Q)C(Q)L(Q)取得最大值的必要条件为L(Q)0即R(Q)C(Q),提示,L(Q)取得最大值的充分条件为L(Q)0即R(Q)C(Q),设总利润为L则LL(Q)R(Q)C(Q)L(Q)R(Q)C(Q)L(Q)R(Q)C(Q),最大利润原则设R(Q)为收益函数C(Q)为成本函数则得取最大利润的必要条件为边际收益等于边际成本即R(Q)C(Q)取得最大利润的充分条件为边际收益的变化率小于边际成本的变化率即R(Q)C(Q),提示,解,例8已知某产品的需求函数为P1002Q成本函数为C502Q求产量为多少时总利润L最大？并验证是否符合最大利润原则,已知P(Q)1002QC(Q)502Q则有,R(Q)1002Q2,L(Q)R(Q)C(Q),L(Q)804Q,令L(Q)0得,Q20L(20)0,所以当Q20时总利润L最大,此时,所以符合最大利润原则,有R(20)C(20),R(20)04C(20)0,有R(20)C(20),R(20)2C(20)2,8Q02Q250,三、函数的相对变化率弹性,问题思考商品A的单位价格为10元涨价1元商品B的单位价格为1000元也涨价1元两种商品价格的绝对改变量都是1元但各与原价相比两种商品涨价的百分比大不相同商品A涨了10%而商品B涨了01%哪种商品涨价后销售量会有较大波动?这种波动由什么因素决定?,定义(绝对改变量与相对改变量),变量t从初值t0变到终值t1，则称t=t1-t0为变量t在t0处的绝对改变量；,引例,已知yx2则当x由10改变到12时y由100改变到144此时自变量与因变量的绝对改变量分别为:x2y44,此时，,这表示在(1012)内从x10开始x改变1%时y平均改变22%我们称它为从x10到x12函数yx2的平均相对变化率(弧弹性),相对改变量分别为:,定义45(函数的弹性),记为,说明,幅度的大小,在应用问题中解释弹性的具体意义时我们也略去“近似”二字,也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度,说明,幅度的大小,也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度,解,例9求函数y32x在x3处的弹性,例10.,定义46(需求弹性),说明当P3时价格上涨1%需求减少06%，此时需求变动的幅度小于价格变动的幅度,解,例11设某商品需求函数为Qe02P求(1)需求弹性函数(2)P3P5P6时的需求弹性,(1)Q02e02P,|(3)|061,说明当P6时价格上涨1%需求减少12%,此时需求变动的幅度大于价格变动的幅度,|(6)|121,说明当P5时价格上涨1%需求减少1%,此时价格与需求变动的幅度相同,|(5)|1,(6)-026-12,(5)-025-1,(2),(3)-023-06,需求弹性的分类,生活必需品,奢侈品,需求弹性与总收益的关系,解,例12设某商品需求函数为Qf(P)1205P(1)求需求弹性函数(2)求P6时的需求弹性(3)在P6时若价格上涨1%总收益增加还是减少？将变化百分之几？(4)P为何值时总收益最大？最大的总收益是多少？,所以当P6时价格上涨1%总收益约增加067%,解,例12设某商品需求函数为Qf(P)1205P(1)求需求弹性函数(2)求P6时的需求弹性(3)在P6时若价格上涨1%总收益增加还是减少？将变化百分