老师上课用的ppt高代char2

第2章向量空间，机动目录的首页和下页的返回结束，第2章，2.1线性方程的几何意义2.2线性相关和线性无关2.3基2.4坐标变换，第2章向量空间，机动目录的首页和下页的返回结束，第2章，2.5向量组的秩2.6子空间2.7子空间和2.8更多示例的交集*，2.1线性方程的几何意义， 在从移动目录的首页返回到首页的最后，第2章，线性方程的唯一解问题示例1在平面上建立直角坐标系，(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是具有不同横坐标的任意n个点。是否只有一个系数多项式f (x)=A0A1x.谁的图像区域通过这n个已知点？分析，未知数m 1，方程数n:当存在唯一解时，特别是当m 1=n为时，上述方程是否存在唯一解。例2由5个电阻组成的电路。在两点a和b之间加一个电压v。找出流经五个电阻的电流。在c点和d点流入和流出的电流的代数和为0以获得两个方程，两个电路acda ACDA，CBDC的总电势差为0以获得，从a到b的总电压为v以获得方程，并且由五个方程组成的方程具有某些唯一的解？(2.1.1)，(2.1.2)例3研究了具有实系数的二元一次方程系统具有唯一解的充分表条件，即，的线性组合被表示为，并且系数x，y，不共线，并且当，即，存在唯一解时.(2.1.3)，当共线时，当，如果有解，就一定有无穷多个解。方程(2.1.1)有唯一解的充分必要条件如下：解可以写成(2.1.6)，其中，(2.1.5)都表示建立直角坐标系的三维空间中的矢量。例4研究了三元一次方程有唯一解的条件。研究了实系数三元一次方程有唯一解的充分表条件。三元一次方程组(2.1.5)有唯一解的充要条件是，以系数矩阵的三列为坐标的几何矢量非共面方程组只有唯一解(x，y，z)=(0，0，0)，没有非零解。例5在一个平面上建立一个直角坐标系，(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是任意三个具有不同横坐标的点。是否有一个唯一的多项式f(x)=a0 a1x a2x2不超过二次，并且他的图像区域通过这三个已知点？只有一个零解。因此，满足要求的多项式必须存在并且是唯一的。2.2线性相关与线性无关。移动目录的上页和下页的返回结束。第二章，F上的任何N元方程组都有唯一的解条件。其中，定义考虑了n维阵列(x1，x2，xn)作为向量，并将所有这些数组组成的集合Fn作为向量空间，称为n维数组空间。在移动目录的上一页和下一页上，n维阵列空间中向量的相加被设置为两个n维向量，并且通过根据它们的分量将它们相加而获得的向量被称为两个向量的和，其被记录为任何向量a=(a1，a2，在n维阵列空间中的向量和数的乘法Fn中，可以与f中的任何常数c相乘，以获得向量ca=(CA1，Ca2，可以)。Fn中定义的加法和数乘法的上述两个运算满足以下计算法则：(A1)加法交换法则： = (A2)加法组合法则：( ) = ( )(A3)零向量：0 = 0=0称为零向量(A4)负向量： = =0称为负向量。(M1)数乘与向量相加的分布比：( )= (M2)数乘与标量相加的分布比：( )= (D1)数乘组合比：()=()(D2)1加权向量：1=以上8个基本运算法则，可以导出我们熟悉的一些其它运算性质。n维数组空间中向量的线性组合将一组向量分别乘以数字，然后将它们相加。得到的向量称为向量的线性组合，也称为向量组的线性组合S=A1，AM。向量除矩阵外，矩阵的和是矩阵的第一个元素的和，即矩阵与数的乘积(矩阵的乘积)，对于任意和乘法，行空间和列空间分别是矩阵空间的特例。行空间和列空间本质上是相同的，因为从加法和数乘法这两个运算中得到的定义和属性对它们来说是相同的。转置，定义交换矩阵的行和列以获得矩阵。称为转置矩阵，它被记录为的第一个元素等于的第一个元素。线性相关与线性无关。2.2.1中定义 1， m是数域f上的n维向量。如果有数X1，XM f不全为零，向量组 1， m线性相关，如果X1，XM f=0。X1 1.当且仅当x1=, XMm=0.=XM=0成立，则向量组 1， m是线性无关的。定理2.2.1设m2，则：向量群 1， m线性相关向量之一i是其余向量的线性组合。证明了如果 1， m首先线性相关，即 1，不全是0的存在。mF满足条件 1 1. m m=0 (2.1.4)，假设i0。将等式(2.1.4)左边除ii之外的其余项目移到右边，然后用非零数i除等式的两边。这表明i是 1的线性组合。其余向量为 m中的j(1jm，ji)。然后将i设置为 1。m中剩余向量j(1jm，ji)的线性组合，即有一组数tj(1jm，ji)，因此 I=t1 1ti-1 I-1 ti 1 I 1.TM m (2.1.6)，方程右侧的所有项都向左移动，得到，-t1 1-t1I-1I-t1I 1-TMm=0(2 . 1 . 7)，方程左侧是1的线性组合， m，其中 I系数10，可以看出 1， m使 1 1. m m=0。，向量组( 1)线性相关的充要条件是1=0。定理2.2.1 向量组( 1， m)是线性相关的，其中某个i是它前面的向量j(jn知道这个系统有非零解( 1，m )(0，0)，u1，是线性相关的。问题：说明了在f n中存在n个线性独立的向量。对于每一个1in，注意，ei=(0，0，1，0，0)，第一分量表示阵列向量，第一分量为1，其余分量为0。我们证明了n个向量E1，E2，en是线性独立的。出于这个原因，我们只需要证明：lambdae1.lambdanen=0 (lambda1，lambdan)=(0，0)和lambdae1.lambdanen=0，即根据需要。结论：在n维数组空间Fn中最多有n个线性独立向量。因此，Fn被称为n维空间。，基础定义，定义2.3.1(基础和坐标)。如果有一组向量M=1，Fn中的m,因此Fn中的每个向量可以写成 1，f=x1 1上 r的线性组合.xm m和系数x1，xm由唯一确定，那么m被称为有序数组(x1，xr)称为在底m下的坐标,一个例子是：e=E1，en是例1中定义的Fn中最简单但重要的基数，则任何向量的坐标b=(B1，bn)在这组碱基下是(B1，bn)本身。这组碱基e1，en称为Fn的天然碱基，或标准碱基。移动目录的上页和下页返回到末尾，满足加法和乘法运算下线性空间的8个运算法则。这是一个线性空间。移动目录的上页和下页返回到末尾，这与任何组(即集合中的元素)线性无关。它可以被唯一地写成线性组合。例2在复域c上的三维空间C3中，向量a1=(2，0，0)，a2=(2，3，0)，a3=(a3，a4，5)构成一组基吗？该解只需考虑方程xa1，ya2，za3=b，即是否存在唯一解。对角元素都不为0的N阶上(下)三角矩阵可以通过一系列初等行变换转化为单位矩阵1，因此方程及其系数矩阵有唯一的解，其列(行)构成一组Fn的基。引理2.3.1集合向量组b是a的线性组合，c是b的线性组合，那么c是引理2.3.2集合向量组B1的线性组合，bk线性相关(独立)当且仅当它们的坐标x1，xk线性相关以“行向量”的形式，“行”和“列向量”的乘积，判断定理的基，和基M=1，Fn的，m具有以下两个特征：(1)(坐标的存在)使得Fn中的每个向量可以写成 1，f上 m的线性组合=AX，其中a=(1，m)。(2)(坐标的唯一性)每个b=AX中的X是由B唯一确定的，也就是说，AX=AY当且仅当X=Y。 n是N维向量空间Fn中的任意N个线性独立向量，那么Fn中的任意向量可以写成 1， 2， n，=X1 1 x2 2.Xn n和系数X1，X2，其中的 1，2，n，是唯一确定的。证明了1，n是Fn中的n 1个向量。从定理2.1.5可知，它们是线性相关的，有数1，n，不全是0。1.nn=0。如果=0，1，n不全是0和11.nn=0，结果是 1，n线性相关，矛盾。所以0。从(2.1.20)可以看出，是 1的线性组合，因为 1， n是线性独立的，每个向量不是它前面的向量的线性组合。如果不是 1的线性组合， n，则向量组 1中的每个向量， n，不是它之前的向量的线性组合。从定理2.1.2的推论2.1.1可知，这导致 1，n和是线性独立和矛盾的。因此是1的线性组合，现在证明系数x1，式中，xn=x11.xnn是独一无二的。假设有两组系数x1，xn和y1，yn满足条件=x11.xnn=y11.ynn，减去这两个表达式，(x1-y1) 1.(xn-yn) n=0 (2.1.21)。因为 1， n是线性无关的，矢量方程(2.1.21)仅在x1-y1=xn-yn=0时成立，即x1=y1，xn=yn，这表示系数x1的唯一性，xn。，确定线性方程的唯一解，实例3在复范围内找到常数b1、b2、b3，使线性方程具有唯一解。解：只要确定由A=(a1，a2，a3)表示的向量组s是否是线性的，也就是说，s是否是C3的一组基，以及方程组是否有唯一的解，原始方程就以向量形式xa1，ya2，za3=b写成。原始方程对任何b1、b2、b3都有唯一的解。定理2.3.2线性方程组对任意一组B1有唯一解的充要条件，BM系统为：m=n；齐次线性方程有唯一的解(0，0)。方程的矩阵形式：AX=b齐次方程的矩阵形式：AX=0。如果x1和x2都是AX=b、AX1=AX2AX1-AX2=A(X1-X2)=0、X1-X2方程AX=0的解。再次证明了方程AX=b有唯一解，当且仅当方程AX=0有唯一解时，引理2.3.4通过一系列初等行变换在f到b上设置n阶方阵a。经过一系列初等行变换后，它变成一个阶梯方阵t，然后a的列构成Fn的基，并且仅当b的列构成Fn的基，并且仅当t的对角元素都不为0。例4当b1，b2，b3取任意复数时，下列线性方程有唯一解：2.4坐标变换，移动目录的上页和下页的返回结束，第2章，求向量坐标，例1在F3中求向量1=(1，0，0)的基t= 1=(1，1，1)， 2=(1)，解：设1在t下的坐标为(x1，x2，x3)并满足1=x11 x22 x3得到的方程的解X=(3，-5/2，1/2)是所需的坐标。例如2，让R3x是由不超过2度的所有实系数多项式f(x)组成的向量空间。在S=1，x-2，(x-2)2的基础上，求多项式(x-5)2的坐标。解决方法是将y=x-2，即x=y 2，代入(x-5)2中进行排序：(x-5)2=(y2-5)2=(y3)2=y26y 9=9-6(x-2)(x-2)2。可以看出(x-5)2的坐标是(9，6，1)。示例3在F3的基T= 1=(1，1，1)， 2=(1，2，3)， 3=(1，4，9)下，找到自然基向量 1=(1，0，0)， 2=(0，1，0)， 3=(0，0，1)的坐标。解决方法：将6个向量写成以m排列的列向量，通过初等行变换转换成最简单的梯形矩阵解：知道t下自然基向量的坐标，是自然基向量=y11 y2e 2 y3e 3的线性组合，而t下的坐标是t下1、2、3坐标的相应线性组合。坐标变换