抛物线的几何性质.ppt

抛物线的几何性质,目标,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点,类比探索,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.,抛物线和它的轴的交点.,(4)离心率(5)焦半径(6)通径,始终为常数1,通径长为2p,|PF|=x0+p/2,F,P,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,x0yR,x0yR,y0 xR,y0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,特点,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,例题,例1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且过点M(2,),求它的标准方程,并用描点法画出其图形.,例2.一个顶点在坐标原点,焦点在x轴上抛物线截直线2x-y-4=0所得弦长为,求抛物线的方程.,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m0)(x2=2my(m0),可避免讨论,例3、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置。,F,y,x,O,解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径。,A,B,设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程可得,所求的标准方程为焦点坐标为,例.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个点在抛物线y2=2px(p0)上,求这个正三角形的边长.,等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P0),O为抛物线的顶点,OAOB,则AOB的面积为A.8p2B.4p2C.2p2D.p2,作业,1.P47习题5,6,72.抛物线y2=2x上距点A(a,0)距离最近的点恰好是抛物线的顶点,求a的取值范围.3.一抛物线形拱桥跨度为52m,拱顶离水面6.5m,一竹排上有一长、宽均为4m，高为6m的大木箱，问能否安全通过拱桥？,点与抛物线,点与圆、椭圆、双曲线的位置关系及判断方法.,点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p0)的位置关系及判断方法.,1.点在抛物线外,2.点在抛物线上,3.点在抛物线内,y02-2px00,y02-2px0=0,y02-2px00)的对称轴平行的直线和抛物线只有一个交点.,只有一个交点不一定就相切,结论,1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)x1x2=p2/4;(2)y1y2=-p2;(3)|AB|=x1+x2+p(4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2(5)以AB为直径的圆与准线相切.,A,B,2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),(1)过P和抛物线顶点的直线交准线于M,则直线MQ平行于抛线的对称轴.(2)过Q作QM准线l,垂足为M,则M、O、P三点共线.(2000年高考题),M,练习,1.已知直线l过点A(-3p/2,p)且与抛物线y2=2px(p0)只有一个公共点,则直线l的条数为.,2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),则y1y2=-p2是直线PQ过抛物线焦点的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件,例题,1.AB是抛物线y2=2px(p0)上两点,满足OAOB(O为坐标原点),求证:(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值;,(2)直线AB经过一定点.,(1)逆命题:若横坐标之积为定值4p2(或纵坐标之积为定值-4p2),是否有OAOB?,(2)逆命题:若直线AB过定点(2p,0),是否有OAOB?,结论,抛物线y2=2px(p0)的轴上有三个点:(1)焦点F:有许多关于焦点弦有关的结论;,(2)点(2p,0):过该点的直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),有x1x2=4p2;y1y2=-4p2;OAOB,(3)点M(p,0):P为抛物线上任一点,在轴上M点左侧的点,有|PM|的最小值为|OM|在轴上M点右侧的点,到顶点的距离不是最小.,例题,2.如果抛物线y=ax2-1上总有关于直线x+y=0对称的相异两点,试求a的范围.,小结,1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)x1x2=p2/4;(2)y1y2=-p2;(3)|AB|=x1+x2+p/2(4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2(5)以AB为直径的圆与准线相切.,2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),(1)过P和抛物线顶点的直线交准线于M,则直线MQ平行于抛线的对称轴.(2)过Q作QM准线l,垂足为M,则M、O、P三点共线.(2000年高考题),抛物线y2=2px(p0)的轴上有三个点:(1)焦点F:有许多关于焦点弦有关的结论;,(2)点(2p,0):过该点的直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),有x1x2=4p2;y1y2=-4p2;OAOB,(3)点M(p,0):P为抛物线上任一点,在轴上M点左侧的点,有|PM|的最小值为|OM|在轴上M点右侧的点,到顶点的距离不是最小.,作业,1.在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.2.若直线过定点M(m,0)(m0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1