北师大版八年级数学下册1.4《角平分线》教案

角平分线教案角平分线教案 教学目标：教学目标： 一、知识与技能 1. 证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理 2. 能够证明三角形三边垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 3. 经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形和垂线 二、过程与方法 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力体验解决问题 的方法，发展实践能力和创新意识 三、情感、态度与价值观 学会与他人合作， 并能与他人交流思维的过程和结果 培养学生积极探索证明思路的意 识. 教学重点：教学重点： 线段垂直平分线的性质定理和判定定理的推证以及应用. 教学难点：教学难点： 垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用 教学过程：教学过程： 一、导入新课一、导入新课 提出问题：你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 学生回忆回答：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 思考：你能证明这一结论吗?结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质 的证明过程吗？-引出本课课题：角平分线. 二、新课学习二、新课学习 （一）证明角平分线的性质和判定定理 1. 证明角平分线的性质 师生共同分析，写出已知、求证和证明过程： 已知： 如图 ， OC 是AOB 的平分线， 点 P 在 OC 上， PDOA，PEOB， 垂 足分别为 D，E. 求证： PD = PE. 证明：1=2，OP=OP， PDO=PEO=90， PDOPEO(AAS) PD=PE(全等三角形的对应边相等) 归纳： 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 几何语言： OC 是AOB 的平分线，PDOA，PEOB， PD = PE. 2.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 学生分析，说出逆命题并判定： 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上 这个命题是假命题 角平分线是角内部的一条射线， 而角的外部也存在到角两边距离相 等的点 思考：此命题填加什么条件可变为真命题呢？ 学生讨论归纳： 在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上 提出问题：你能证明这个命题吗？ 学生分析命题，自主写出已知、求证和证明过程： 已知：在AOB 内部有一点 P，且PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，且PD=PE， 求证：点 P 在AOB 的平分线上 证明： PDOA，PEOB， PDO= PEO=90 在 RtODP 和 RtOEP 中 OP=OP，PD=PE RtODP RtOEP(HL) 1=2(全等三角形对应角相等) 归纳：角平分线的判定定理： 在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上 几何语言： 如上图，PDOA，PEOB，且 PD=PE， 点 P 在AOB 的平分线上 3.例题讲解： 例 1.如图， 在 ABC 中， BAC =60， 点 D 在 BC 上， AD=10， DEAB， DF AC， 垂足分别为 E， F， 且 DE=DF， 求 DE 的长. 师生共同分析，写出证明过程： 分析：运用角平分线的判定和直角三角形的性质求解. 解： DEAB， DFAC，垂足分别为 E，F， 且 DE=DF， AD 平分BAC（在一个角的内部， 到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线 上） . 又BAC=60， BAD = 30 . 在 RtADE 中， AED=90， AD=10， DE= 1 11 1 AD = 10 = 5（在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30 ， 那么它所 2 22 2 对的直角边等于斜边的一半） （二）证明三角形角平分线的性质： 例 2.求证： 三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这一点到三条边的距 离相等. 学生分析题意，写出已知求证： 已知：如图， 在 ABC 中， 角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P， 过点 P 分 别作 AB， BC，AC 的垂线， 垂足分别是 D，E，F. 求证：A 的平分线经过 点 P， 且 PD=PE=PF. 分析：分析：只需证明PD=PF 即可. 学生自主完成证明过程： 证明： BM 是ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， PD=PE （角平分线上的点到这个 角的两边的距 离相等） . 同理，PE=PF. PD=PE=PF. 点 P 在A 的平分线上 （在一个角的内部， 到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上） ， 即 A 的平分线经过点 P. 归纳：三角形角平分线的性质定理： 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 几何语言： 如图,在ABC 中, BM,CN,AH 分别是ABC 的 三条角平分线,且 PDAB, PEBC,PFAC, BM,CN,AH 相交于一点 P,且 PD=PE=PF 例 3.如图 ， 在 ABC 中，AC=BC， C= 90 ， AD 是ABC 的角平分线，DE AB， 垂足为 E. （1） 已知 CD=4cm， 求 AC 的长； （2） 求证： AB=AC+CD. 师生共同分析： （1）运用角平分线的性 质和勾股定理. （2）证明ADC ADE即可. 学生自主完成证明过程： （1） 解： AD 是ABC 的角平分线， DCAC，DEAB，垂足为 E， DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） . AC=BC， B=BAC（等边对等角） . C= 90， B=1/290= 45 . BDE =90- 45= 45 . BE = DE（等角对等边） . 在等腰直角三角形 BDE 中， BD =2 2DEDE 2 2= 42 2cm（勾股定理） . AC = BC = CD + BD =（4 + 42 2） cm. （2）证明：由（1）的求解过程易知， RtACDRtAED（HL） . AC=AE（全等三角形的对应边相等） . BE=DE=CD， AB=AE+BE=AC+CD. 三、课堂练习三、课堂练习 1.下列作法中，不能得到ABC 的平分线的是（） A.在ABC 的边 AB，BC 上各取一段 BEBF,连接 EF 的中点 D 和顶点 B B.在ABC 内找一点 D,满足点 D 到 BC 的距离等于 BD C.在ABC 内找一点 D,使ABDCBD D.在ABC 内找一点 D,使 D 到 BC,BA 的距离相等 2.在 RtABC 中， C90， 若 BC10,AD 平分BAC 交 BC 于点 D， 且 BD:CD3:2 则点 D 到线段 AB 的距离为. 3.如图，已知：ADOB 于 D，BCOA 于 C，AD，BC 相交于 E，且 EA=EB. 求证：EO 为AOB 的平分线. 4.已知:如图,ABC 的外角CBD 和BCE 的角平分线相交于点F. 求证:点 F 在DAE 的平分线上. 拓展： 5.如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三 条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ 2 题图3 题图4