固体物理考题 第四章 能带理论

第四章第四章 能带理论能带理论 1 1 设电子在一维弱周期势场 V(x)中运动，其中 V(x)= V(x+a)，按微扰论求出 k=/a处的能 隙 2 2 怎样用能带论来理解导体、绝缘体、及半导体之间的区别？（可以画图说明） 3 3 简单推导布洛赫（Bloch）定理 4 4 对于一个二维正方格子，晶格常数为， 在其倒空间画图标出第一、第二和第三布里渊区； 画出第一布里渊区中各种不同能量处的等能面曲线； 画出其态密度随能量变化的示意图。 5 5 在一维周期场近自由电子模型近似下，格点间距为，请画出能带 E(k)示意图，并说明 能隙与哪些物理量有关。 6 6 推导 bloch 定理；写出理想情况下表面态的波函数的表达式，并说明各项的特点。 7 7 在紧束缚近似条件下，求解周期势场中的波函数和能量本征值。 设晶体中第 m 个原子的位矢为： R R m m 1a a1 m 2a a2 m 3a a3 （5-4-1） 若将该原子看作一个孤立原子，则在其附近运动的电子将处于原子的某束缚态i(r r R Rm)， 该波函数满足方程： 2 2 V(r r R R ) m i(r r R Rm) ii (r r R R m )（5-4-2） 2m 其中V(r r R Rm)为上述第 m 个原子的原子势场， i 是与束缚态i相对应的原子能级。如果 晶体为 N 个相同的原子构成的布喇菲格子，则在各原子附近将有N 个相同能量 i 的束缚态 波函数i。因此不考虑原子之间相互作用的条件下，晶体中的这些电子构成一个N 个简并 的系统：能量为 i 的 N 度简并态i(r r R Rm)，m=1，2，N。 实际晶体中的原子并不是真正孤立、 完全不受其它原子影响的。 由于晶体中其它诸原子 势场的微扰，系统的简并状态将消除，而形成由 N 个能级构成的能带。根据以上的分析和 量子力学的微扰理论，我们可以取上述N 个简并态的线性组合 (k k,r r) a m (k k) i (r r R R m )（5-4-3） m 作为晶体电子共有化运动的波函数， 同时把原子间的相互影响当作周期势场的微扰项， 于是 晶体中电子的薛定谔方程为： 2 2 U(r r) 2m (r r) E(r r)（5-4-4） 其中晶体势场 U(r r)是由原子势场构成的，即 U(r r) V(r r R R n ) U(r r R R l )（5-4-5） n 微扰计算微扰计算 （5-4-4）式可以转化为如下形式： 2 2 V r r R RU(r r)V r r R R(r r) mm (r r) E 2m 代入（5-4-2）和（5-4-3）后，可得： a ( m m i E)U(r r)V(r r R R m ) i (r r R R m ) 0 （5-4-5） 在紧束缚近似作用下，可认为原子间距较 i 态的轨道大得多，不同原子的 i 重叠很小，从 而有： * i r r R R n i r r R R m dr r nm （5-4-6） 现以 i * ，并对整个晶体积分，可以得： r r R R n 左乘方程（5-4-5） a n ( i E)a m i *(r r R R m )U(r r)V(r r R R m ) i (r r R R m )dr r = = 0（5-4-7） m 首先讨论（5-4-7）式中的积分。我们引入新的积分变量，令 r r R R m ，由晶格周期性可 知：U Ur r R R m Ur r，则（5-4-7）式中积分可表示为： * i R Rn R R m U V i d J J(R R n R R m )（5-4-8） 上式表明积分值仅取决于原子的相对位置R Rn R Rm，因此引入符号J J(R Rn R Rm)。式中引入 负号的理由是晶体势场与原子势场的差值U V 为负值。 将式（5-4-8）代入（5-4-7）式得到方程组： a m J JR R n R R m E i a n （5-4-9） m 不难证明： a m 1 ik ke N R Rm 为满足方程组（5-4-9）的解，于是得到： E i J JR R n R R m e m ik kR RmR Rn n亦 即 E i （5-4-10） J JR R m n R R m eik kR RmR R i J JR R s e m ik kR Rs 式中R R s R R n R R m 为原子的相对位置，与原子标号码m 或 n 无关。 （5-4-10）式实际上即为 晶体中共有化运动的电子的能量本征值。与该本征值相对应的电子共有化波函数为： k k (r r) 1 N e m ik kR Rm i (r r R R m )（5-4-11） 容易验证，上式所给出的波函数确为布洛赫函数。不妨作下面的变换， k (r r) 1 ik kr reeik k(r rR Rm) i (r r R R m )（5-4-12） N m 1 ik kr reu k k (r r)（5-4-13） N 进一步可得： k k (r r) 显然，uk k(r r) uk k(r r R Rl)是和晶格周期相同的周期函数。 8 8 (a)试写出其倒格矢，证明倒格子元胞体积v =(2)3/V，并画出第一布里渊区示意图。 （b）在近自由电子近似下，写出电子在第一布里渊区顶角和各面心上的动能。 （c）令 a=b=c,紧束缚近似下电子的色散关系为：E(k)=E0-2J(coskxa+coskya+coskza) 试写出态密度 N(E)的积分表达式，并指出在哪些能量处N（E）=0，哪些能量处有范霍 夫奇点？ 9 9 简述 Bloch 定理，解释简约矢 k 的物理意义，并阐述的取值原则。 K 为简约波矢， 是对应于平移操作本征值的量子数。 它的物理意义是表示原胞之间电子波函 数位相的变化。它的取值应限制在简约布里渊区。 1010（a a）晶体中的电子能带是怎样形成的？能带的宽度与什么因素有关？ (b)若一个一维导体中电子在能带中的填充刚好是半满的，会出现什么现象？ (c)对于一个简单立方晶体，紧束缚近似下电子表的色散关系为 E(k)=E0-2J(coskxa+coskya+coskza) 试写出态密度的积分表达式，并指出在哪些能量处态密度为零？哪些能量处有范霍夫奇 点？ 1111 假定将晶体表面看成是理想平面，忽略晶体内周期势的起伏变化，求表面电子态的能量 本征值及其波函数。 1212简述能带理论；推导布洛赫(Bloch)定理，理想三维情况下表面电子态的波函 数有什么特点。 1313简述晶体能带与其晶格周期性和对称性的关系， 并说明无序材料电子结构和晶 体材料电子结构的主要差别。P230 1414.高压晶体体积变小，能带宽度会 1515费米面 、费米能 、费米速度 费米