2017年电大经济数学基础形成性考核册答案带题目

一、填空题： x sin x 1. lim x0 x _ .答案：0 f (x) x21,x 0 2.设 k,x 0 ，在 x 0处连续，则k _ .答案：1 3.曲线 y x 在 (1,1) 的切线方程是 .答案： y 1 2 x 1 2 4.设函数 f (x 1) x2 2x 5 ，则 f (x) _ .答案：2x x ，则 f 5.设 f (x) xsin ( 2 ) _ 答案： 2 6.若 f (x)dx 2x 2x c ，则 f (x) _ .答案：2xln2 2 7. (sinx)dx _ .答案：sin x c 2 1 8. 若 f (x)dx F(x) c F(1 x2 ，则 xf (1 x )dx .答案： 2 ) c d e 9.设函数 dx 1 ln(1 x2)dx _ .答案：0 P(x) 10. 若 0 11 x 1t2 dt ，则 P(x) _ .答案： 1 x2 104 5 A 3 232 11.设矩阵 2 16 1 ，则A的元素 a 23 _ .答案：3 12.设 A,B 均为 3 阶矩阵，且 A B 3 ，则 2ABT = _ . 答案： 72 13. 设 A,B 均为n阶矩阵，则等式(A B) 2 A22AB B2 成立的充分必要条件是 . 案：AB BA 14. 设 A,B 均为n阶矩阵， (I B) 可逆，则矩阵A BX X的解X _. 答案： (I B)1A 10 1 0 0 A 0 1 0 A 0 20 2 0 1 0 0 1 15. 设矩阵 0 03 ，则 A _ .答案： 3 f (x) 4 x 1 16.函数 In(x 1) 的定义域为答案：1x4 且 x2 答 2y 3(x 1) 17. 函数的驻点是 _ ，极值点是，它是极值点.答案： x 1,x 1，小 18.设某商品的需求函数为 q(p) 10e 111 p 2 ，则需求弹性 E p .答案： 2p 19.行列式 D 111 _ 11 1 .答案：4 1 6 1 1 A 0 132 0 0t 1 0 ，则 t _ 时，方程组有唯一解.答案： 120. 设线性方程组 AX b ，且 二、单项选择题： sin x 1 2 e 1. 函数x ， 下列变量为无穷小量是 （ C） A In(1 x) Bx / x 1 C x2 D x 2. 下列极限计算正确的是（ B）A.x0 x lim x 1 B.x0 x lim x 1 C.x0 lim xsin 1sin x 1lim1 x xx D. 11ln101 dxdxdxdx y lg2 xdy 2xxln10 xx 3. 设，则（ B ） A B C D 4. 若函数 f (x)在点 x 0 处可导，则( B )是错误的 A函数 f (x)在点 x 0 处有定义 B D函数 f (x)在点 x 0 处可微 111 f ( ) x 22 5.若 x ，则 f (x) ( B）A1/ x B-1/x C x D x 11 6. 下列函数中， （ D）是 xsinx2的原函数 A2cosx2 B2cosx2 C-2cosx2 D- 2 cosx2 xx0 lim f (x) A ，但 A f (x 0 ) C函数 f (x)在点 x 0 处连续 1 11 dx d x ln xdx d( )2xdx d(2x) x C ln2 7. 下列等式成立的是 （ C） A sinxdx d(cosx) BD x 8. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C） x dx cos(2x 1)dxxsin 2xdxx 1 x dx 2 A， B C D 1 x 2 9. 下列定积分计算正确的是（D） A 1 1 2xdx 2 B 16 1 dx 15 C /2 /2 sin xdx 0sin xdx 0 D 10. 下列无穷积分中收敛的是 （ B） A1 1 1 xdxdxe dxsinxdx 1 x2 C 0 1 x B D 11. 以下结论或等式正确的是（ C ） A若 A,B 均为零矩阵，则有A B B若 AB AC ，且 A O，则B C C对角矩阵是对称矩阵 D若 A O,B O ，则 AB O 12. 设A为34矩阵，B为52矩阵，且乘积矩阵 ACB 有意义，则C为（ A）矩阵 A2 4B4 2 C35D53 TT 13. 设 A,B 均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C） 111111AB BA(A B) A B(AB) AB A， B C DAB BA 14. 下列矩阵可逆的是（ A） 12 3 1 0 1 0 23 101 1 1 1 1 A 0 03 B 12 3 C D 00 2 2 2 2 2 A 3 33 15. 矩阵 4 44 的秩是（ B） A0 B1 C2 D3 16. 下列函数在指定区间 (,)上单调增加的是（B） Asinx Be xCx2D3 17. 设 f (x) 1 x ，则 f ( f (x) （ C ） A1/x B1/ x 2 Cx Dx2 11 xx 18. 下列积分计算正确的是（A） A exex 1 2 dx 0 e e B 1 2 dx 0 1 C 1 -1 xsin xdx 0 D -1 (x2 x3)dx 0 19. 设线性方程组 A mn X b 有无穷多解的充分必要条件是（ D） A r(A) r(A) m B r(A) n Cm n D r(A) r(A) n x 1 x 2 a 1 x 2 x 3 a 20. 设线性方程组 2 x1 2x 2 x 3 a 3，则方程组有解的充分必要条件是（ C） A a 1 a 2 a 3 0 B a 1 a 2 a 3 0 Ca 1 a 2 a 3 0 D a 1 a 2 a 3 0 三、解答题 1、计算极限 （1）解： lim x23x21 lim(x 1)(x 2)lim x 21 x1 x21 2 = x 1(x 1)(x 1) = x 1 x 1 = 2 x2 （2）解： lim 5x 61 lim(x 2)(x 3)lim x 31 x2x26x 8 2= x 2(x 2)(x 4) = x 2 x 4=-2 1 x 11 lim 1 x 1 lim 1 1 （3）解： lim x0 x 2=s 0 ( 1 x1)x = s 01 x1 = 2 x 35 xx2 24x23x 51 lim 3 2 lim 2 xx （4）解：x3x 2x 4 3=s 1 sm3x 3xlim sm3x lim 3x3sin3x3 lim x0sin5x 5x 0时，sm5x 5x x 0 sm5x = x 0 5x =5（5）解： lim x2 4 limx24 (6)解： x 2sin(x 2) = x 2 x 2 = x 2 (x+2)=4 lim 2.计算下列不定积分 3 ( )x e C(3)x x3 3 x 3 e ( ) dxdxln C x eee （1）=ln31 1 （2） (1 x)2 x 2 12XX2 dx()dx 2x XXX = 4 x 3 3 2 2 x 5 5 2 C x2 4x2(x 2)(x 2) dx (x 2)dx dx 2x C x 22x 2 （3）= 1111 dxd(1 2x)ln12x 2 1 2x21 2x （4）=-=-+C 111 2 2 22 2 22 2 2 (2 x ) dx(2 x ) d(2 x )(2 x ) C x 2 x dx 223 （5）= 113 （6） sinx x dx =Z sinxdx =2cos x C （7） xsin xxxxxx dxxd cos 2 cosdx 4smC 2 =-2 2 =-2xcos 22 =-2xcos 22 （8） ln(x 1)dx = ln(x 1)d(x 1) =（x+1）ln(x+1)- (x 1)d ln(x 1) =(x+1)ln(x+1)-x+c 3.计算下列定积分。 （1） 2 1 1 xdx 1 x 1(1 x)dx 1 (x 1)dx =（x- 12 2 x2 1 x2 ) ( x) 1212 15 =2+ 2 = 2 2 （2） 1 12 2 1 1 e x x ee d dx 1 =e ex = x2 = 1 3e d lnx e (1 ln x)d(ln x 1) 2(1 ln x) dx 1 x 1 ln x = 11lnx = 1 =4-2=2（3） e3 1 e31 3 1 2 1 2 1 11 2 1 22 xsm2xsm2xdxcos2x 1xdsm2x 2xcos2xdx 2 224 2 000 （4）0= 0 = 2 1 （5） e 1 2 22 eex2 1eexe2x2e e2 x2xe2 e1e 1 lnx dxdx ()xlnxdx 1 ln xd 11 2x = 24 1 = 2 12 = 2x = 2 44 = 4 = 44 xdx xedx (1 xe)dx 0 0 （6）0= 4 x 44 x4 xeed(x) 44e4ex 4 x 00 0 xde 0 =4 4e4 e41=55e4 =4= 4x 1xsin b,x 0 x f (x) a,x 0 sin x x 0 x 4、 设函数， 问： （1）当 a,b 为何值时， f (x) 在 x 0处有极限存在？（2）当a,b为何值时， f (x) 在x 0处连续. limlim sin x1 x 1 解： x 0 f(x)= x 0 (sin x +b)=b x 0 f(x)= x 0 limlim (1)要使 f(x)在 x=0 处有极限，只要 b=1， limlim x 0 x 0 （2）要使 f(x)在 x=0 处连续，则f(x)=f(0)=a即 a=b=1 时，f(x)在 x=0 处连续 5、计算函数的导数或微分： 1 22x2 x2 xlogyy x 2 log x 2 2 （1），求解：y=2 +2xlog + a(cx d) (ax b)cad bc ax b y 22(cx d)(cx d) y cx d (2)，求解：y= y (3) 3x 5 ，求 y 解：y= (3x5) 1 1 2 1 =- 2 (3x5) 3 2 3 （3x-5） = 2 (3x5) 3 2 11 xy x xe (4)，求 y 解：y= 2 x （ex+xex）= 2 x exxex axy esinbx ，求 dy 解：y=aeaxsinbx+beaxcosbx=eax(asmbx+bcosbx)(5) dy=eax(asmbx+bcosbx)dx 1 2 (6) y e x x ，求 dy 解： y= x 1 x e1 x 3 + 2 x 1 2 1 2 dy=( x e1 x 3 + 2 x )dx (7) y e x x ，求 dy 解：y= 2 x sin x + 2xe 1 x 1 x2 dy=( 2xex2 1 2 x sin x )dx ny sin x sinnx ，求 y 解：y=nsinn1x+ncosnxdy=n(nsinn1+ cosnx)dx(8) 1 2 2 y y ln(x 1 x )x 1 x (9)，求解：y= (1 2x 2 1 x2 = 1 x2 ) 1 dy 1 dx 21 x y 2 （10） cot 1 x 13x22x x y 2xot 1 x x11 2 x 1 6 2 111 31 5 cot 2 1 2 x y 2 csc2ln x 2 x 6 x26x ，求 y 解： 6、下列各方程中 y 是 x 的隐函数，试求 y 或 dy 22x y xy 3x 1，求dy （1） y 2x 3 解：方程两边对 x 求导得 2x+2yy-y-xy+3=0 (2y-x)y=y2x3 y= 2y x y 2x 3 dx 2y x dy= xysin(x y)e 4x ，求 y (2) 解：方程两边对 x 求导得：Cos(x+y)(1+y)+exy(y+xy)=4 cos(x+y)+xexyy=4cos(x+y)yexy 4 cos(x y) yexy xycos(x y) xe y= 7. 求下列函数的二阶导数： 2y ln(1 x ) ，求 y （1） 12x 2(1 x ) 21 X2 解：y=1 x 1(1 X2) 2X 2X2(1 X2)2X Y () 2221 X(1 X2)2(1 X ) = y 1 x x ，求 y 及 y(1) 解： y ( 3 2 1 x x （2） 1 ) (xx ) x x = 2 1 2 1 2 3 2 1 x 2 1 2 y ( 1 x 2 3 2 1 x 2 1 2 ) 3 x = 4 5 2 1 x 4 y(1) 31 1 44 2 10 1 20112110 1 2 5310 50315130 3 5 = 8、计算.（1） 0 2 1 1 01 2001 20 0 0 0 300 0130 0130 00 = （2） 3 0 1254 1 2 =13 205(1) 42=0 （3） 4 5 2312 4 2 4 5 7 19 7 2 1 1 22143 6 10 7 120 1120 1 3 2 0 47 3 214 23 1 3 2 7 = （4） 7 5 5 15 2 7 2194 7 6 120 112 00 034 2 7 7 = 3 214 = 2 3 1 1 2 3 ，B 1 12A 1 11 0 1 1 0 1 1 ，求 AB 。9、设矩阵： 231 解： A 11 01 3 11 1 (1)(2)0 22 1 01 2123 31 0 22 100 1 123 3 2 B 112 0 2 0112 AB A B 0 1 2 4 A 2 1 1 1 0 ，确定 的值，使 r(A) 最小。10、设矩阵： 1 1 2 4 2 1 7 4 1 1 1 0 解：A= 2 1 1 2 4 0 0 要使 r（A）最小。 719 此时r(A) 2 24 只需 4 2 532 5 854 A 1 742 4 112 11、求矩阵 1 3 0 3 的秩。 2 4 2 3 1 2 532 5 8543 4 112 3 3 0 000 1 3 3 0 2 53 3 1 2 53 5 854 3(2)(2) 5 85 1 742 0 4 11 4112 3 4 11 A= r(A)=3 12、求下列阵的逆矩阵： 1 1 3 2 3 A 3 01 1 1 1 1 解：A1= （1） ） 3 0 1 210 0 1 32 10 0 0 97 310 1010 1 00 1 0 43 10 1 1 32 10 0 1 00 11 3 1 1 3 0 10 237 2 37 0 97 310 0 01 34 9 0 01 34 9 A-1= 3 4 9 3 0 13 63 10 0 1 001 13 6 3 4 21 010 0 10 271 4 21 2 1100 1 1 2 1 1 2 0 010 解：A1= （2）A = 3 0 1 2 71 0 1 2 A-1= 1 2 1 2 A , B 2 335 ，求解矩阵方程XA B 13、设矩阵设矩阵 x 1 X x3 解：设 x 2 x 1 3x 2 2x 1 5x 2 1 2 由XA B即 2 3x 4 x 3x2x 5x 434 3 x 1 1,x 2 0 x 1 3x 2 1 即 2x 1 5x 2 2 3x 4 x 3 2x 3 1 1 0 1 15x 2x 3x 1 43 4 X= 14、求解下列可分离变量的微分方程： dy1 xyx yxx e edy e dx xy edy fe d y y e （1）解： dxe -e-y=ex+C即 ex+e-y=C dyxex 2 2x3y dy xe 2x dx3y dx y3=xex-ex+C(2)解：3y dy=xe dx 15、求解下列一阶线性微分方程： （1） y 2 y (x 1)3 x 1 解：方程对应齐次线性方程的解为：y=C(X+1)2 由常数高易法，设所求方程的解为：y=C(x)(x+1)2 代入原方程得 C （x）(x+1)2=(x+1)3 C(x)=x+1 x2 x c 2 C(x)= x2 x C)(x_1)2 故所求方程的通解为： （ 2 (2） y y (x)dx p(x)dx 2xsin 2x y e(x)edx C x 解：由通解公式 1 ,Q(x) 2xsm2x,代入方式得 其中 P（x）= - x 1 dx x 1 dx xdx C 2xsm2xe cnx =elnx 2xsm2x edx C =x 2sm2xdx C =cx-xcos2xY=e 16、求解下列微分方程的初值问题： （1） y e y2x 2xy , y(0) 0 1 2x 1 eC e dy edx y=e2x/ey即 eydy=e2xdx ey= 2 将 x=0,y=0 代入得 C= 2 1 2x(e1)为满足y(0) 0的特解 ye =2 xxy y e 0 , y(1) 0 （2） 解：方程变形得 yex1exyex x dx 为一阶线性微分方程，其中P(x) ,Q(x) edx C xxxxx y+ x 1 dx x 1 代入方式得 Y=e x dx ex 1 1 e ln xln x xedx Ceedx C xx = x= e dx Cx 1 x c e xx 将 x=1,y=0 代入= 1 x e e xx 为满足 y（1）=0 的特解。得 C=-ey= 17、求解下列线性方程组的一般解： 2x 3 x 4 0 x 1 x1 x 2 3x 3 2x 4 0 2x x 5x 3x 0 234（1） 1） 02 1 2 1 1 1 0 1 132 0 111 2 15 3 0 11 0 解：系数矩阵：A2= x 1 x 4 2x 3 方程组的一般解为： x 2 x 4 x 3 其中 x 3、x4 为自由未知量 2x 1 x 2 x 3 x 4 1 x1 2x2 x 3 4x 4 2 x 7x 4x 11x 5 234 1（2） 解：对增广矩阵作初等行变换将其化为阿梯形 161 0 55 37 12142121 4 201 12142 55 21111 0 537 3 0 53 7 3 0 000 0 537 3 0 000 0 A= 174 11 5 故方程组的一般解是： 416337 x 3 x 4 x 3 x 4 555 X 2= 555 ，其中 x 3，x4 为自由未知量。 4 5 3 5 0 X 1= x 1 x 2 5x 3 4x 4 2 2x x 3x x 1 1234 3x 1 2x 2 2x 3 3x 4 3 7x 5x 2 9x 3 10 x 4 18.当为何值时，线性方程组 1有解，并求一般解。 1 154 2 131 3 223 解： A=7 5910 2 1 1 0 11 0 1 3 0 2 542 2 1 154 0 11393 1393 0 01393 00 8 26181400000 要使方程组 x 1 7x 3 5x 4 1 x 13x 3 9x 4 3 有解，则 8此时一般解为答案： 2（其中 x 1 ,x 2是自由未知量） 。 x 1 x 2 x 3 1 x1 x2 2x 3 2 x 3x ax b 23 119 a,b 为何值时，方程组解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵： 1 1 1 11 1 1 11 1 11 1 1 2 2 0 2 0 2 1111 1 3a b 0 4a 1 b 1 0 0a 3 b 3 A= 由方程组解的判定定理可得当 a=3,b3 时，秩（A）秩（A） ，方程组无解当 a=3,b=3 时，秩 （A）=秩（A）=23，方程组无穷多解当 a3 时，秩（A）=秩（A）=3，方程组有唯一解。 20、求解下列经济应用问题： 2 （1）设生产某种产品 q 个单位时的成本函数为： C(q) 1000.25q 6q （万元）, 求：当 q 10 时的总成本、平均成本和边际成本；当产量 q 为多少时，平均成本最小？ 解 ： 当 q=10 时 总 成 本 C(%)=100+0.25 10 +6 10=185 （ 万 元 ） 平 均 成 本 C （ q ） C(q)100 6 0.25q 18.5 qq 2 边际成本函数为 C （q）=0.5+6，当 q=10 时，边际成本为 11。 100100 平均成本函数C（q）=0.25q+6+ q 即求函数C（q）=0.25q+6+ q 的最小值 100 0时 C （q）=0.25 q ，q=20 且当 q20 时，C(q)0，q20 时，C(q)0 当 q=20 时，函数有极小值即当产量 q=20 时，平均成本最小 2 qC(q) 20 4q 0.01q （2）某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元） ，单位销售价格为 p 140.01q （元/件） ，问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少 解：总收益函数 R（q）=P%=(14-0。01q)q=14q- 0.01q 利润函数 L(q)=R(q)-C(q)=-0.02q2+10q-20，10250 时，L （q）0，q0 故 L（q）在 q=250 取得极大值为 L（250）=1230 即产量为 250 中时，利润达到最大，最大值为 1230。 （3）投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边际成本为C(q) 2q 40(万元/百台)试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低 解：由 C （x）=2x+40 C（x）=x2+40 x+C,当 x=0 时（cx）=36，故 C=36 总成本函数：C（x）=x2+40 x+36 C(4)=42+404+36=252(万元) C（6）=62+406+36=312（万元） 总成本增量：C（x）=312-212=100(万元) 2 3636 40 2 x 52 x 平均成本 C（x）=x+40+ x 3