常微分方程 第15讲.ppt

中央民族大学数学与计算机学院,第十五讲,第五章线性微分方程组,一阶微分方程组的一般形式一阶线性微分方程组的概念解的存在性与唯一性关于齐次方程组(LH)的解的结构,一阶微分方程组的一般形式,含有n个未知函数的一阶微分方程组的一般形式为：,(1),一阶微分方程组的一般形式,方程组(1)在区间上的一个解，是这样的一组函数，它使得在区间上有下列恒等式成立,含有n个任意常数,的解：,一阶微分方程组的一般形式,称为(1)的通解.如果通解满足如下方程组:,一阶微分方程组的一般形式,则称此方程组为(1)的通积分（或隐式通解）.,一阶微分方程组的一般形式,为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(1).令n维向量函数,一阶微分方程组的一般形式,并定义：,相关定义：即，称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数的导数（或积分，或极限）是指这样一个矩阵函数，它的各个元素是原矩阵的相应元素的导数（或积分，或极限）；称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数序列是收敛（或在区间上一致收敛）的，指的是它的相应元素做成的函数序列是收敛（或在区间上一致收敛）的.,一阶微分方程组的一般形式,这样，则(1)可记成向量形式：,初始条件可记为：,初值问题可记为：,一阶微分方程组的一般形式,补充：向量Y和矩阵A的范数或模,对于向量Y和矩阵A：,我们定义：,称和分别为向量Y和矩阵A的范数或模.,一阶线性微分方程组,本章我们研究一类具有特殊结构的方程，称为线性方程.这类方程，虽然结构简单，但一般不能用初等积分法求得它的通解表达式.然而，人们却可以直接根据方程的特点，从理论上推断它的通解结构.如果在一阶微分方程组(1)中，函数关于是线性的，即(1)可以写成如下形式：,则称(2)为一阶线性微分方程组.总假设(2)的系数和连续。,(2),一阶线性微分方程组,一阶线性微分方程组,为了方便，可把(2)写成向量和矩阵形式.为此记：,(2)就可以简记为：,（NH）,一阶线性微分方程组,如果在I上，,方程组(NH)变成,（LH）,我们把（LH）称为线性齐次方程组.而当非齐次项,（NH）称为非齐次线性齐次方程组.如果(LH)与(NH)中A(x)相同，则称(LH)为(NH)的对应的齐次方程组.,不都恒为零时，,解的存在性与唯一性,对于一个不能用初等积分法求解的微分方程，首要问题是，它是否有解？更明确地说，是否存在满足初始条件的解？进而还要问：满足初始条件的解是否唯一？这些问题得不到满意的回答，就很难再谈关于这一方程的其他问题的研究.,解的存在性与唯一性,定理5.1如果(NH)中的A(x),F(x)在区间I上连续，则对于任一以及任意给定的n维,向量方程组(NH)的满足初始条件的解在区间I上存在且唯一.证明分4步完成：1、把初值问题(NH)，化成下述等价的积分方程组：,（3）,解的存在性与唯一性,2、用逐步逼近法构造皮卡向量序列，即函数向量序列：3、证明函数向量序列于区间I内部一致收敛（即于区间I的任意有限闭子区间上一致收敛），且其极限向量函数是积分方程组（3）在区间I上的连续解向量.,解的存在性与唯一性,3、事实上，由数列与级数的关系可知，只须证明无穷向量级数于区间上一致收敛.,解的存在性与唯一性,用数学归纳法容易证明，对任意自然数m,有,解的存在性与唯一性,4、最后证明唯一性，即证明：如果上也是（3）连续解向量，则在区间I必有,。注：,把它代入右端,重复m次,(这种方法叫做迭代法),解的存在性与唯一性,注1、方程组（NH）的任何解向量都能延拓到整个区间上.注2、皮卡迭代序列提供了近似求（NH）的初值问题的方法.,本节要点：,1一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义。2一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在。,关于方程组(LH)的解的结构,m个向量函数在区间I上线性相关(无关)。是m个定义在区间I上的n维向量函数.如果存在m个不全为零的常数，使得在区间上恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则称它们在区间I上线性无关.,例1向量函数,在任何区间(a,b)上是线性相关的.事实上取,有,关于方程组(LH)的解的结构,例2向量函数,上线性无关.,在,关于方程组(LH)的解的结构,关于方程组(LH)的解的结构,事实上，要使得,有,关于方程组(LH)的解的结构,区间I上列向量组线性相关与线性无关的判别准则，我们考察由这些列向量所组成的行列式,通常把它称为向量组的朗斯基(Wronski)行列式.,关于方程组(LH)的解的结构,定理5.3如果向量组在区间I上线性相关，则它们的朗斯基行列式在上恒等于零.注、对于一般的向量函数组,定理5.3的逆定理未必成立.例如向量函数,的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的.,关于方程组(LH)的解的结构,定理5.4如果是齐次线性方程组(LH)的n个线性无关解，则它的朗斯基行列式W(x)在上恒不为零，即,推论5.1如果向量组的朗斯基行列式W(x)在区间I上的某一点处不等于零，即,则向量组在I上线性无关.推论5.3齐次线性方程组(LH)的n个解在其定义区间I上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在上任一点不为零.,齐次微分方程组（LH）通解的结构,定理5.5齐次线性方程组(LH)在区间I上必存在基本解组.,证明提示：取特殊的初始条件,(5.3.3),关于方程组(LH)的解的结构,由于它们所构成的朗斯基行列式,因而，由推论知是（LH）在区间上的基本解组.,关于方程组(LH)的解的结构,满足初始条件(5.3.3)的基本解组称为齐次线性方程组(LH)的标准基本解组.下面我们就可以给出齐次线性方程组(LH)的基本定理了.定理5.6（基本定理）如果是齐次线性方程组(LH)在区间上的基本解组，则其线性组合是齐次线性方程组(LH)的通解,其中为n个任意常数。,关于方程组(LH)的解的结构,推论5.4齐次线性方程组(LH)的线性无关解的个数不能多于n个.即，一阶线性齐次微分方程组(LH)的解的全体构成一个n维线性空间.定理5.7如果是齐次线性方程组(LH)在区间I上的n个解，则这n个解的朗斯基行列式与齐次线性方程组(LH)的系数有如下关系式这个关