概率论解题方法.ppt

数学知识系列讲座,概率论解题方法分析举例,主要内容,概率的计算；概率大小的比较；贝努里试验模型；概率分布；边缘分布；随机变量函数的分布；连续与离散两种随机变量相结合。,1.利用事件间的关系与运算规律计算.如,一、概率的计算,例1.为概率不为零的两事件，且互不相容，则正确的是（）A)B)C)D)分析：A)是独立条件；B)与对立（互逆）相关；C)是差事件的运算；D)是互不相容的问题.显然：A)错；B)不相干；D)中令故D)错.又由于故C)对.本题主要考查事件的几种关系：差、互逆、互不相容及独立.要熟练掌握其基本概念.,例2.已知事件满足.解：此题关键是掌握德谟根定律及事件的逆以及加法公式.,2.运用概率计算公式.如加法公式条件概率公式及由此推出的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式,例3.一次掷十颗骰子，已知至少出现一个一点，问至少出现两个一点的概率是多少？分析：设A：至少出现一个一点；B：至少出现两个一点,则所求为另可知，因此关键利用了互逆事件及条件概率的性质.,例4.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是多少？分析：设A：甲射击一次命中目标；B：乙射击一次命中目标.则目标被命中为所求概率为于是,例5.三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有2个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球2个白球.求：（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是多少？（2）已知取出的是白球，此球属于第三个箱子的概率分析：设A:取出的球为白球；B：此球来自于第i个箱子，i=1,2,3,则且（1）由全概率公式有（2）由贝叶斯公式有,练习.某工厂生产的产品以100件为一批，现从每批中任取10件来检查，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。假定每批产品中的次品数最多不超过4件，且每次次品数从0到4是等可能的。求：（1）一批产品通过检查的概率；（2）假设所检查这批产品通过检查，其中确实没有次品的概率.关键事件：A：产品通过验收；：每批产品中有i件次品，i=0,1,2,3,4.,利用分布函数求概率：若X为一维离散型：则若（X，Y)为二维离散型：则若X为一维连续型：则若（X，Y)为二维连续型：则,3.运用随机变量的分布,例6.已知独立，则以下结论正确的是（）A)B)C)D)以上常不正确分布列相同的两个随机变量不一定相等，与它们本身的定义有关，故A)不对；由于故选C).,例7.已知随机变量X的分布函数为（1）求（2）求X的分布律.分析：由分布函数的意义知,于是端点处的概率即为上下阶梯之差，X的分布律为,例8.，求方程有实根的概率.分析：当且仅当成立时，方程有实根，解得或因此，该方程有实根的概率为本题是利用连续型随机变量均匀分布的特征来求概率，若,例9.则（）.A）B)C）D)分析：独立正态分布的线性组合仍然服从正态分布，则正态分布的标准化：故X+YN（1,2），从而，,例26.的联合概率密度为求中至少一个小于0.5的概率.解:所求概率为,1.2.3.利用概率分布特征比较，如密度函数的奇偶性，正态分布的标准化，正态分布的线性组合特征。,二、概率大小的比较,例10.为任意两事件，且，则正确的是（）A)B)C)D)本题利用及条件概率的定义即得B)正确.,例11.事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列式子正确的是（）A)B)C)D)选择支中出现了联想到加法公式由有又则故选B),例12.A）单调增大B）单调减少C）保持不变D）增减不定例13.设则的大小关系是（）A）B）C）D）大小不定均考查正态分布的标准化问题,三、贝努里试验模型设计,例14.随机数字序列由多长时才能使0至少出现一次的概率不小于0.9？分析：可看成从0-9是个数字中任取一个放在各位上，每次独立，在相同条件下进行.设A:“任取一个数字，取到的数字为0”，则设X：“n次选取中，0出现的次数”，则X服从二项分布b(n,0.1).于是由题意有解得,:,例15.三只独立工作的同型号电子元件，其寿命分布（小时）都服从同一指数分布，分布密度为试求电子元件在最初的150小时之内，至少有一只电子元件损坏的概率.分析：设A:“电子元件的寿命X小于等于150小时”，则设Y：“三只电子元件中寿命小于150小时的只数”，即事件A发生的次数，则Y服从b(3,p).由于则即为所求.,1.分布函数上述性质也是判断一个函数是否为分布函数的依据.2.分布律及其性质（规范性）.3.密度函数与分布函数的关系，密度函数的性质（非负性、规范性）.,四、随机变量的分布,例16.下列函数为分布函数的是（）A)B)C)D)A)不满足右连续；C)、D)不满足单调不减；B)满足分布函数的几条性质：故选B),例17.X的分布函数为F(x)，则的分布函数为（）A)B)C)D)由分布函数的定义有,例18.已知随机变量X的密度函数为令,求解：按分布函数的定义，有关键抓住分布函数的定义.,例19.X服从参数为的指数分布，对于的分布函数，哪个结论正确（）A)连续B)至少有两个间断点C)是阶梯函数D)恰好有一个间断点思路：先求分布函数，再求不连续点个数.只有一个间断点,离散型（X,Y)：联合分布律：X的边缘分布律：Y的边缘分布律若X,Y独立，则在的条件下的概率,4.联合分布、边缘分布、条件分布、独立性,连续型：已知（X,Y)的联合密度函数为X的边缘密度函数Y的边缘密度函数为若X,Y独立，则在的条件下Y的密度函数为,例20.已知（X,Y）的联合分布律为（1）将X,Y的边缘概率填入上表；（2）若Y=0与X+Y=1独立，求a,b的值.,分析：由独立性知即（1）又由分布律的规范性有（2）解得a=0.4,b=0.1,例21.已知随机变量X,Y的分布律分别为：X01Y-101且,求(X，Y)的联合分布律并判断其独立性.分析：直接求不容易，但由可知于是，得到（X，Y）的联合分布律为,练习：的分布律为且则并求(X,Y)的联合分布律.,例24：G由及直线y=0,x=1,所围，(X,Y)在G上服从均匀分布.求(1)(X,Y)关于Y的边缘概率密度在处的值.(2)X,Y是否独立？解：G的面积为故联合密度函数为求得故,1,一维离散型，二维离散型（略）一维连续型：(1)若X的密度函数为，Y=g(X)处处可导，且严格单调，的反函数为则可用公式(2)若Y=g(X)不满足上述条件，则先求Y的分布函数，再关于y求导.,六、随机变量函数的分布,二维连续型随机变量函数的分布：已知联合密度函数为(1)若,则(2)若,则(3)若,则此外，还有与的分布.,例23.X,Y的联合分布律为求:（1）Z=X+Y的分布律；（2）U=maxX,Y的分布律；（3）V=minX,Y的分布律.,(X,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)0.300.050.020.030.200.40Z=X+Y012123U=maxX,Y012112V=minX,Y000011由上可知Z，U，V的分布律为：,例24