1.2反比例函数的图象与性质

反比例函数的图象与性质,1.2,如何画反比例函数的图象？,列表：由于自变量x的取值范围是所有非零实数，因此，让x取一些负数值和一些正数值，并且计算出相应的函数值，列成下表：,描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点.如下图所示.,观察左图，y轴右边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何变化？y轴左边的各点是否也有相同的规律？,当x0时，函数值y随自变量x的增大而减小；,当x0时，也有这一规律.,我们可以证明：对于反比例函数，,连线：根据以上分析，我们可以把y轴右边各点和左边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来.,从看出，x取任意非零实数，都有y0，因此这两支曲线与x轴都不相交.由于x不能取0，因此这两支曲线与y轴也都不相交.,这样就画出了的图象，如下图所示.,在下图所示的直角坐标系内，画出反比例函数的图象.,（2）在每一象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？,（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？,观察画出的，的图象，思考下列问题：,可以发现这两个函数的图象均由两支曲线组成，且分别位于第一、三象限.,对于y轴右边的点，当自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小；对于y轴左边的点也有这一性质.,一般地，当k0时，反比例函数的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.,1.画出下列反比例函数的图象：,解,的图象与的图象有什么关系？,如何画反比例函数的图象？,当x=3时，的函数值为-2，而的函数值为2在平面直角坐标系内，点A（3，-2）与B（3，2）关于x轴对称，如下图所示:,类似地，当x取任一非零实数a时，的函数值为，而的函数值为，从而都有点P(a，)与点Q(a，)关于x轴对称，因此的图象与的图象关于x轴对称.于是只要把的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来，就得到的图象，如下图中的红色曲线所示,从图中看出：的图象由分别在第二、四象限的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.,类似地，当k0时，反比例函数的图象与的图象关于x轴对称从而当k0时，反比例函数的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.,由于我们已经知道了当k0时反比例函数的图象的性质，因此今后画反比例函数（k0）的图象时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.,举例,例1画反比例函数的图象.,列表：让x取一些非零实数，并计算出相应的函数值y，列成下表.,描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点.,连线：把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数的图象，如下图所示.,综上所述，我们得到：,反比例函数（k为常数，k0）的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为双曲线.,画出下列反比例函数的图象：,(1),(2),(1),解,（1）求k的值，并写出该函数的表达式；,（2）判断点A（-2，-4），B（3，5）是否在这个函数的图象上；,（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？,已知反比例函数的图象经过点P（2，4）.,（1）求k的值，并写出该函数的表达式；,解因为反比例函数的图象经过点P（2，4），即点P的坐标满足这一函数表达式，因而，解得k=8.因此，这个反比例函数的表达式为.,（2）判断点A（-2，-4），B（3，5）是否在这个函数的图象上；,解把点A，B的坐标分别代入，可知点A的坐标满足函数表达式，点B的坐标不满足函数表达式，所以点A在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上.,解因为k0，所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.,（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？,例2下图是反比例函数的图象.根据图象，回答下列问题：,（1）k的取值范围是k0还是k0？说明理由；,（2）如果点A（-3，），B（-2，）是该函数图象上的两点，试比较，的大小.,（1）k的取值范围是k0还是k0？说明理由；,解因为点A(-3，），B（-2，）是该图象上的两点，且-30，-20，所以点A，B都位于第三象限.又因为-3-2，由反比例函数图象的性质可知：.,（2）如果点A（-3，），B（-2，）是该函数图象上的两点，试比较，的大小.,例3已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（-3，4）.试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.,举例,由于这两个函数的图象交于点P（-3，4），则点P（-3，4）是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.,因此,因此，这两个函数表达式分别为和，它们的图象如图所示.,P,1.已知反比例函数的图象经过点M（-2，2）.（1）求这个函数的表达式；（2）判断点A（-4，1），B（1，4）是否在这个函数的图象上；,（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大如何变化？,（1）求这个函数的表达式；,解因为k0，所以这个反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，函数值y随自变